Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F (x)
[a , b] ⊂ R
1
L
0
([a , b])
L
0
([a , b])
I
0
(f) =
X
0≤j≤N−1
β(j)(F (α
j+1
) − F (α
j
)).
X = [0 , 1] , L
0
(X) = C([0 , 1]),
I
0
(f) = f(1/2)
[0 , 1/2) (1/2 , ]
Z X
> 0
{f
n
(x)} ⊂ L
0
(X) , f
n+1
(x) ≥ f
n
(x)
∀(n , x) : f
n
(x) ≥ 0
∀(x ∈ Z) : sup{f
n
(x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1 ∀n : I
0
(f
n
) ≤ .
Ïðèìåð  1.1.8. Ïóñòü F (x) -ìîíîòîííî íåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ñïðàâà
ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [a , b] ⊂ R1 è ïóñòü L0 ([a , b]) -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî
âñåõ ôóíêöèé âèäà (1.15). Íà ïðîñòðàíñòâå L0 ([a , b]) îïðåäåëèì ýëåìåí-
òàðíûé èíòåãðàë ôîðìóëîé
                            X
                 I0 (f ) =        β(j)(F (αj+1 ) − F (αj )).          (1.20)
                          0≤j≤N −1


   Ïðîâåðêà óñëîâèÿ 1.1.7 ïîëó÷àåòñÿ äîñëîâíûì ïîâòîðåíèåì ïðåäû-
äóùèõ ðàññóæäåíèé.
   Â ïðèìåðàõ 1.1.6-1.1.8 êàæäàÿ ôóíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàð-
íûõ ôóíêöèé ïðèíèìàëà òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Ïðèåì, ñîñòî-
ÿùèé â ðàññìîòðåíèè ïîäîáíîãî êëàññà ôóíêöèé, ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â
òåîðèè èíòåãðàëà.


1.1.2     Ìíîæåñòâà ìåðû íîëü.

Ðàññìîòèì ïðèìåð. Ïóñòü X = [0 , 1] , L0 (X) = C([0 , 1]), à ýëåìåíòàðíûé
èíòåãðàë çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

                               I0 (f ) = f (1/2)                        (1.21)

ßñíî, ÷òî â ðàñìàòðèâàåìîì ïðèìåðå ïîâåäåíèå èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé
íà èíòåðâàëàõ [0 , 1/2) è (1/2 , ] íèêàê íå âëèÿåò íà èíòåãðàë. ×òîáû â
îáùåì ñëó÷àå âûäåëèòü íåñóùåñòâåííûå äëÿ èíòåãðàëà ïîäìíîæåñòâà
îáëàñòè çàäàíèÿ èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà
ìåðû íîëü.

Îïðåäåëåíèå 1.1.1. Ïîäìíîæåñòâî Z ïðîñòàíñòâà X åñòü ìíîæåñòâî
ìåðû íîëü, åñëè äëÿ êàæäîãî  > 0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåóáûâàþùàÿ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü

                    {fn (x)} ⊂ L0 (X) , fn+1
                                          
                                              (x) ≥ fn (x)

íåîòðèöàòåëüíûõ:
                            ∀(n , x) : fn (x) ≥ 0
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, ÷òî

        ∀(x ∈ Z) : sup{fn (x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1 è ∀n : I0 (fn ) ≤ .

   Ïóñòîå ïîäìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâîì ìåðû íîëü ïî îïðåäåëå-
íèþ.

                                      11

Страницы