Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
0
(X)
L
0
(X) 3 f(x) =
X
0≤j≤N−1
β(j)I(A
j
|x) , β(j) ∈ R
1
.
L
0
(X)
I
0
: L
0
(X) 3 f(x) 7→ I
0
(f) =
Z
b
a
f(x)dx =
X
0≤j≤N−1
β
j
(α
j+1
− α
j
)
X = (a , b] L
0
(X)
α
j
N =
1 , 2 . . .
{f
n
(x)} ⊂ L
(
X)
∀x: f
n+1
≤ f
n
(x) , f
n
(x) → 0 , n → ∞.
f
n
(x)
[a , b]
f
n
(x) {x
j
}, j = 1 . . .
B
=
[
i
V
i
, V
i
= (x
i
− 4
−i
, x
i
+ 4
−i
).
C(B
) {f
n
(x)}
f
n
(x) C(B
)
{f
n
(x)}
C(B
) n()
∀(x ∈ C(B
) , n > n()) : f
n
(x) < .
Ïóñòü L0 (X) -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé âèäà
                                  X
             L0 (X) 3 f (x) =              β(j)I(Aj |x) , β(j) ∈ R1 .   (1.15)
                                0≤j≤N −1


Îïðåäåëèì íà L0 (X) ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë ôîðìóëîé
                                                   Z    b
                I0 : L0 (X) 3 f (x) 7→ I0 (f ) =            f (x)dx =
                                                    a
                    X
                          βj (αj+1 − αj )                               (1.16)
                0≤j≤N −1


   Ïðîâåðêà óñëîâèé 1.1.1 -1.1.7 â äàííàì ñëó÷àå ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòà-
òåëþ.

Ïðèìåð       1.1.7. Ïóñòü X = (a , b] è L0 (X) -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âñåõ
ôóíêöèé âèäà (1.15) ïðè âñåõ âîçìîæíûõ âûáîðàõ òî÷åê αj è âñåõ N =
1 , 2 . . . . Îïðåäåëèì ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë ôîðìóëîé (1.16). Óñëîâèÿ
1.1.1 -1.1.7 â ýòîì ñëó÷àå áóäóò âûïîëíåíû.

   Íåòðèâèàëüíà òîëüêî ïðîâåðêà óñëîâèÿ 1.1.7. Â äàëüíåéøåì ðåçóëü-
òàòû íèæåñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé íàìè íå èñïîëüçóþòñÿ.
   Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ⊂ L( X) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

                 ∀x : fn+1 ≤ fn (x) , fn (x) → 0 , n → ∞.

Êàæäàÿ èç ôóíêöèé fn (x) èìååò òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà
íà îòåçêå [a , b], ïîýòîìó ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ðàçðûâà âñåõ ôóíêöèé
fn (x) íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Ïóñòü ýòî áóäåò ìíîæåñòâî {xj } , j = 1 . . ..
Ïîëîæèì
                        [
                   B =   Vi , Vi = (xi − 4−i  , xi + 4−i ).   (1.17)
                        i

Ìíîæåñòâî C(B ) çàìêíóòî, ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}
ìîíîòîííî ñòåìèòñÿ ê íóëþ â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà è êàæ-
äàÿ ôóíêöèÿ fn (x) íåïðåðûâíà íà C(B ), ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû Äèíè
ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ðàâíî-
ìåðíî íà C(B ). Ïóñòü n() âûáðàíî òàê, ÷òî

                   ∀(x ∈ C(B ) , n > n()) : fn (x) < .

                                       9

Страницы