Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X = Z
+
L
0
(X) = l
2
({b(j)} ∈ l
2
) ⇐⇒ ((
X
j
|b(j)|
2
) < ∞).
{a(j)} {a(j)} ∈ l
2
, a(j) >
0
l
2
α{b(j)} + β{g(j)} = {αb(j) + βg(j)},
|b(j) + g(j)|
2
≤ 2(|b(j)|
2
+ |g(j)|
2
).
{b
n
(j)}
l
2
∀j : b
n
(j) → 0 , n → ∞, b
n+1
(j) ≤ b
n
(j).
I
0
({b
n
}) =
X
j≤N
a(j)b
n
(j) +
X
j>N
a(j)b
n
(j)
|
X
j>N
a(j)b
n
(j)| ≤ (
X
j>N
|a(j)|
2
)
1/2
(
X
j>N
|b
n
(j)|
2
)
1/2
.
N
n
n
X = (a , b] , a = α
0
< α
1
< α
2
< . . . < α
N
= b
∀(j ≤ N −1) : A
j
= (α
j
, α
j+1
] , .
Ïðèìåð   1.1.5. Ïóñòü X = Z+ -ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷è-
ñåë, L0 (X) = l2 -ïðîñòðàíñòâî ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ:
                                      X
                  ({b(j)} ∈ l2 ) ⇐⇒ ((  |b(j)|2 ) < ∞).        (1.12)
                                                j


Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {a(j)}óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: {a(j)} ∈ l2 , a(j) >
0. Çàäàäèì ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë ôîðìóëîé (1.10).
   Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé 1.1.5-1.1.7. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà çàìå-
òèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî l2 åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî îïå-
ðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà äåéñòâèòåëüíû ÷èñëà, åñëè ýòè îïåðà-
öèè îïðåäåëåíû ïî ïðàâèëó

                      α{b(j)} + β{g(j)} = {αb(j) + βg(j)},

òàê êàê
                       |b(j) + g(j)|2 ≤ 2(|b(j)|2 + |g(j)|2 ).
Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 1.1.7. Ïóñòü {bn (j)} òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñâà l2 , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                  ∀j : bn (j) → 0 , n → ∞ , bn+1 (j) ≤ bn (j).

Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                  X                    X
                   I0 ({bn }) =         a(j)bn (j) +         a(j)bn (j)   (1.13)
                                  j≤N                  j>N


Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì
              X                 X                X
            |   a(j)bn (j)| ≤ (   |a(j)|2 )1/2 (   |bn (j)|2 )1/2 .
                j>N                 j>N                 j>N


 ñèëó ýòîãî íåðàâåíñòâà çà ñ÷åò âûáîðà ïàðàìåòðà N âòîðîå ñëàãàåìîå
â (1.13) ìîæíî ñäåëàòü ñêîëü óãîäíî ìàëûì ñðàçó äëÿ âñåõ n, à ïåðâóþ
ñóììó â (1.13) ìîæíî ñäåëàòü ìàëîé çà ñ÷åò âûáîðà n.
Ïðèìåð    1.1.6. Ïóñòü

                X = (a , b] , a = α0 < α1 < α2 < . . . < αN = b
                -ôèêñèðîâàííûå òî÷êè è
                ∀(j ≤ N − 1) : Aj = (αj , αj+1 ] , .                      (1.14)

                                            8

Страницы