Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n > n()
f
n
(x) = f
0
n
(x) + f
00
n
(x),
f
0
n
(x) =
X
j
β
0
j
I(A
0
j
|x),
f
00
n
(x) =
X
j
β
00
j
I(A
00
j
|x).
A
0
j
T
C(B
) 6= ∅
A
00
j
⊂ B
β
0
j
f
n
(x) C(B
)
∀j : β
0
j
<
Z
b
a
f
n
(x)
0
dx ≤ (b − a)
α
j
B
j
[α
j
, α
j+1
] ⊂ B
[α
j
, α
j+1
] V
i
A
00
j
V
i
M = sup{f
1
(x) | x ∈ X}
Z
b
a
f
00
n
(x) dx ≤ M
Z
b
a
X
j
I(A
00
j
|x)
dx ≤ (sup
x
f
1
(x)) · ,
n > n()
Z
b
a
f
n
(x) dx ≤ (M + b − a) · .
R
d
Ïðè n > n() ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ (1.15) êàê ñóììó äâóõ ôóíêöèé

                                  fn (x) = fn0 (x) + fn00 (x),
                                  ãäå
                                            X
                                  fn0 (x) =     βj0 I(A0j |x),                      (1.18)
                                                j
                                                X
                                  fn00 (x) =        βj00 I(A00j |x).                (1.19)
                                                j


 (1.18) ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî òåì j, äëÿ êîòîðûõ A0j C(B ) 6= ∅, à
                                                         T
â (1.19) ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî òåì j, äëÿ êîòîðûõ A00j ⊂ B . Òàê êàê
â (1.18) βj0 åñòü îäíî èç çíà÷åíèé ôóíêöèè fn (x) íà ìíîæåñòâå C(B ), òî
∀j : βj0 <  è
                            Z b
                                fn (x)0 dx ≤ (b − a)
                                    a

Òàê êàê âñå òî÷êè αj ïî îïðåäåëåíèþ ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó B , òî
äëÿ âñåõ òåõ j , ïî êîòîðûì âåäåòñÿ ñóììèðîâàíèå â (1.19), âûïîëíåíî
âêëþ÷åíèå [αj , αj+1 ] ⊂ B .  ñèëó ëåììû Ãåéíå-Áîðåëÿ êàæäûé îòðå-
çîê [αj , αj+1 ] ïîêðûâàåòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì èíòåðâàëîâ Vi âèäà (1.17).
Âõîäÿùèå â (1.19) ìíîæåñòâà A00j íå ïåðåñåêàþòñÿ è èõ îáúåäèíåíèå ïî-
êðûâàåòñÿ êîíå÷íîé ñèñòåìîé îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ Vi , ñóììàðíàÿ äëèíà
êîòîðûõ ìåíüøå . Ïóñòü

                                  M = sup{f1 (x) | x ∈ X}

Òîãäà
          Z    b                      Z b X              
                   fn00 (x) dx   ≤M             I(A00j |x) dx ≤ (sup f1 (x)) · ,
           a                            a                              x
                                            j


è ïðè n > n() :
          Z    b
                   fn (x) dx ≤ (M + b − a) · .
           a

   Èòàê, ìû äîêàçàëè âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 1.1.7 â ðàññìàòðèâàåìîì íà-
ìè ïðèìåðå.
   ×èòàòåëþ ðåêîìåíäóåòñÿ îáîáùèòü ýòîò ïðèìåð íà ñëó÷àé ïðîñòðàí-
ñòâà Rd .
   Äðóãèì îáîáùåíèåì ýòîãî ïðèìåðà ÿâëÿåòñÿ

                                                10

Страницы