Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z ⊂ X
mes(Z) = 0.
mes(Z) = 0
∀( > 0) , ∃{f
n
(x)} ⊂ L
0
(X) : 0 ≤ f
n
(x) ≤ f
n+1
(x) . . . ,
∀(x ∈ Z) : sup{f
n
(x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1,
∀n: I
0
(f
n
) < .
Z ⊂ X Z
0
⊂ Z
Z
0
[0 , 1/2)
S
(0 , 1/2]
x
0
∈
[a , b] x
0
∈ K
f
n
(x)
f
n
(x) ≡ max{0 , 1 − |x −x
0
|/} 1.
x
0
6∈ {x
j
}
x
j
   Åñëè ìíîæåñòâî Z ⊂ X åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü, òî ìû áóäåì
ïèñàòü
                        mes(Z) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, mes(Z) = 0 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè:

               ∀( > 0) , ∃{fn (x)} ⊂ L0 (X) : 0 ≤ fn (x) ≤ fn+1
                                                               
                                                                   (x) . . . ,
                                   
               ∀(x ∈ Z) : sup{fn (x) | 1 ≤ n < ∞} ≥ 1,
               ∀n : I0 (fn ) < .                                               (1.22)

   Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó æå ñëåäóåò âàæíîå äëÿ äàëü-
íåéøåãî

Óòâåðæäåíèå 1.1.3. Åñëè Z ⊂ X åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü è Z
         0
                                                                                 0
                                                                                     ⊂Z
òî   Z       åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.

Çàìå÷àíèå  1.1.1. Ïîçæå ìû ââåäåì ïîíÿòèå ìåðû ìíîæåñòâà è ó íàñ ïî-
ÿâÿòñÿ ìíîæåñòâà, ìåðà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, à ìíîæåñòâà ìåðû íîëü
â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.1 êàê ðàç è îêàæóòñÿ ìíîæåñòâàìè, ìåðà êî-
òîðûõ ðàâíà íóëþ. Íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðè èíûõ îïðåäåëåíèÿõ ïîíÿòèÿ
ìåðû ìíîæåñòâà ìåðû íîëü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.1 è ìíîæåñòâà,
ìåðà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ, -ýòî ðàçíûå êëàññû ìíîæåñòâ. Ýòè êëàññû
ìíîæåñòâ ìîãóò ñîâïàäàòü ïðè îäíèõ îïðåäåëåíèÿõ ïîíÿòèÿ ìåðû ìíî-
æåñòâà è íå ñîâïàäàòü ïðè äðóãèõ îïðåäåëåíèÿõ ïîíÿòèÿ ìåðû ìíîæå-
ñòâà. Áîëåå ïîäðîáíî ìû îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì ïðè îáñóæäåíèè ïîíÿòèÿ
ìåðû ìíîæåñòâà.
     Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
Ïðèìåð  1.1.9. ÂSðàññìîòðåííîì â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà ïðèìåðå ìíî-
æåñòâî [0 , 1/2) (0 , 1/2] åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.
Ïðèìåð     1.1.10.  ïðèìåðàõ è 1.1.1 1.1.2 îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà x0 ∈
[a , b] è x0 ∈ K åñòü ìíîæåñòâà ìåðû íîëü.
      êà÷åñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn (x) ìîæíî âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

                     fn (x) ≡ max{0 , 1 − |x − x0 |/} ïðè   1.

Ïðèìåð 1.1.11.  ïðèìåðå 1.1.3 êàæäàÿ òî÷êà x0 6∈ {xj } åñòü ìíîæåñòâî
ìåðû íîëü è íèêàêàÿ òî÷êà xj íå åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü.
Ïðèìåð   1.1.12. Â ïðèìåðàõ 1.1.4-1.1.5 åäèíñòâåííûå ìíîæåñòâà ìåðû
íîëü -ýòî ïóñòûå ìíîæåñòâà.

                                             12

Страницы