Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

g(x)
X = [a , b] ⊂ R
1
, L
0
(X) = C([a , b])
[a , b] , {x
j
} ⊂ [a , b]
I
0
(f) =
X
j
a(j)f (x
j
) ,
{a(j)}
∀j : a(j) > 0
X
j
a(j) < ∞.
X = Z
+
L
0
(X) = l
∞
({b(j)} ∈ l
∞
) ⇐⇒ (sup{|b(j)| | j ∈ Z
+
} < ∞),
{a(j)}
I
0
({b(j)}) =
X
j
a(j)b(j).
{b
n
(j)}
l
∞
∀j : b
n
(j) → 0 , n → ∞, b
n+1
(j) ≤ b
n
(j).
I
0
({b
n
}) =
X
j≤N
a(j)b
n
(j) +
X
j>N
a(j)b
n
(j).
|
X
j>N
a(j)b
n
(j)| ≤ sup{|b
1
(j)| | j ∈ Z
+
}
X
j>N
a(j).
N
n
   Áóäåò ëè â ýòîì ïðèìåðå âûïîëíåíî óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè ýëå-
ìåíòàðíîãî èíòåãðàëà, åñëè ôóíêöèÿ g(x) â íåêîòðîûõ òî÷êàõ áóäåò ïðè-
íèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ?
Ïðèìåð  1.1.3. Ïóñòü X = [a , b] ⊂ R1 , L0 (X) = C([a , b]) -ïðîñòðàíñòâî
âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a , b] , {xj } ⊂ [a , b], à ýëåìåíòàð-
íûé èíòåãðàë çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
                                  X
                        I0 (f ) =   a(j)f (xj ) ,                      (1.8)
                                         j

ãäå {a(j)} -òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü , ÷òî
                                      X
                     ∀j : a(j) > 0 è      a(j) < ∞.                           (1.9)
                                                     j

   Ïðîâåðêà óñëîâèé 1.1.5-1.1.7 ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.
Ïðèìåð    1.1.4. Ïóñòü X = Z+ -ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷è-
ñåë, L0 (X) = l∞ -ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòåé:
               ({b(j)} ∈ l∞ ) ⇐⇒ (sup{|b(j)| | j ∈ Z+ } < ∞),
{a(j)}-÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
(1.9), à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë çàäàí ôîðìóëîé
                                     X
                       I0 ({b(j)}) =   a(j)b(j).             (1.10)
                                                 j

   Ïðîâåðèì, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå 1.1.7. Ïóñòü {bn (j)} òàêàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà l∞ , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                 ∀j : bn (j) → 0 , n → ∞ , bn+1 (j) ≤ bn (j).

Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                X                        X
                 I0 ({bn }) =         a(j)bn (j) +             a(j)bn (j).   (1.11)
                                j≤N                      j>N

Âòîðóþ ñóììó â (1.11) îöåíèì òàê:
             X                                        X
           |    a(j)bn (j)| ≤ sup{|b1 (j)| | j ∈ Z+ }   a(j).
               j>N                                                  j>N

Òåïåðü ÿñíî, ÷òî âòîðàÿ ñóììà â (1.11) ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî
ìàëîé çà ñ÷åò âûáîðà N , à ïåðâàÿ ñóììà ìîæåò áûòü ñäåëàíà ìàëîé çà
ñ÷åò âûáîðà n.

                                             7

Страницы