Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x) ∈ L
0
(X),
∀(p ≥ 1) : |f(x)|
p
∈ L
0
(X).
X
L
0
(X)
C(X) X
I
0
C(X)
C(X)
X
f ∈ L
0
(X)
X = [a , b] ⊂ R
1
, L
0
(X) = C([a , b])
[a , b]
I
0
: C([a , b]) 3 f 7→ I
0
(f) =
Z
b
a
f(x)dx.
Óñëîâèå 1.1.9. Åñëè f (x) ∈ L (X), òî
                                  0

                          ∀(p ≥ 1) : |f (x)|p ∈ L0 (X).

   Åñëè ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, òî ïîñòðîåííûé ïî ñõåìå Äàíèýëÿ èí-
òåãðàë îáëàäàåò äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ÷àñòî èñïîëüçó-
þòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ.
   Â äàëüíåéøåì ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî óñëîâèÿ (1.1.8) è (1.1.9) âûïîë-
íåíû.
   Õîòÿ ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ íà îáëàñòü çàäàíèÿ
èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé ôîðìàëüíî íå íàëàãàåòñÿ êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷å-
íèé, íî â äåéñòâèòåëüíîñòè äåëî îáñòîèò íå ñîâñåì òàê. Åñëè ìíîæåñòâî
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé áåñêîíå÷íî, òî äëÿ ñóæäåíèÿ î òîì, ïðèíàäëå-
æèò èëè íåò äàííàÿ ôóíêöèÿ ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è
âûïîëíåíî ëè óñëîâèå (1.1.7), íàì íóæíî êàê-òî îïèñàòü ñâîéñòâà ýëå-
ìåíòàðíûõ ôóíêöèé, à ñäåëàòü ýòî, íè÷åãî íå çíàÿ îá îáëàñòè çàäàíèÿ
ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìå-
íåíèÿõ íà îáëàñòü çàäàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé íàëàãàþòÿ äîïîëíè-
òåëüíûå òðåáîâàíèÿ. ×àñòî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñèòóàöèÿ.
Óñëîâèå 1.1.10.
         1
                Ïðñòàíñòâî X -ýòî êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðî-
ñòðàíñòâî , ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé                    L0 (X) -   ýòî ïðî-
ñòðàíñòâî   C(X)   âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà               êîìïàêòå X ,   à ýëåìåí-
òàðíûé èíòåãðàë      I0   ýòî ëèíåéíûé íåîòðèöàòåëüíûé ôóíêöèîíàë íà
C(X).
   Çàìåòèì, ÷òî òàêîé ôóíêöèîíàë â ñèëó íåðàâåíñòâà (1.4) ÿâëÿåòñÿ
íåïðåðûâíûì â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà C(X).
   Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (1.1.7) òîãäà ñëåäóåò èç òåîðåìû Äèíè è óñëî-
âèÿ 1.1.8-1.1.7 òàêæå âûïîëíåíû. Óñëîâèå êîìïàêòíîñòè òîïîëîãè÷åñêî-
ãî ïðîñòðàíñòâà X â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò áûòü çàìåíåíî óñëîâèåì
êîìïàêòíîñòè íîñèòåëÿ êàæäîé ôóíêöèè f ∈ L0 (X).
   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
Óòâåðæäåíèå 1.1.1. Ïóñòü        X = [a , b] ⊂ R1 , L0 (X) = C([a , b]) -
ïðîñòðàíñòâî âñåõ     íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a , b], à ýëåìåí-
òàðíûé èíòåãðàë çàäàí êàê èíòåãðàë Ðèìàíà:
                                                     Z   b
                  I0 : C([a , b]) 3 f 7→ I0 (f ) =           f (x)dx.           (1.6)
                                                     a
  1  ýòîé ãëàâå ïîä òåðìèíàìè êîìïàêò, êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è
êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïîíèìàòü îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì (1.7) ïîäïðîñòðàí-
ñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.


                                       5

Страницы