Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
0
I
0
L
0
(X)
I
0
: L
0
(X) 7→ R
1
, I
0
(αf + βg) = αI
0
(f) + βI
0
(g).
I
0
(∀x : f(x) ≥ 0) ⇒ (I
0
(f) ≥ 0).
I
0
∀(x ∈ X) : f
n+1
(x) ≤ f
n
(x) ∀(x ∈ X) : lim
n→∞
f
n
(x) = 0,
lim
n→∞
I
0
(f
n
) = 0.
−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|,
|I
0
(f)| ≤ I
0
(|f|).
f(x) ≡ 1
|I
0
(f)| ≤ I
0
(1) sup{|f(x)| | x ∈ X}.
L
0
(X)
f(x) ≡ 1 L
0
(X).
I
0
(1) = 1.
    Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I0 óäîâëåòâîðÿ-
åò ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì.

Óñëîâèå 1.1.5. Ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I                    0 åñòü ëèíåéíûé ôóíêöèî-
íàë, çàäàííûé íà     L0 (X):

               I0 : L0 (X) 7→ R1 , I0 (αf + βg) = αI0 (f ) + βI0 (g).

Óñëîâèå 1.1.6. Ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I                0 íåîòðèöàòåëåí:


                         (∀x : f (x) ≥ 0) ⇒ (I0 (f ) ≥ 0).

Óñëîâèå 1.1.7. Ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I                    0 íåïðåðûâåí â ñëåäóþøåì
ñìûñëå:

      åñëè   ∀(x ∈ X) : fn+1 (x) ≤ fn (x)      è   ∀(x ∈ X) : lim fn (x) = 0,
                                                                  n→∞

òî
                                  lim I0 (fn ) = 0.                             (1.2)
                                  n→∞

     Òàê êàê
                            −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|,
òî èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

                                 |I0 (f )| ≤ I0 (|f |).                         (1.3)

Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ≡ 1 ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ ôóíê-
öèé, òî îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

                       |I0 (f )| ≤ I0 (1) sup{|f (x)| | x ∈ X}.                 (1.4)

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èíòåãðëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ íóæíû òîëüêî ñâîéñòâà 1.1.1
-1.1.7 ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è ýëåìåíòàðíîãî èíòåãàëà.
Íî â âàæíûõ è èíòåðåñíûõ äëÿ ïðèëîæåíèé cëó÷àÿõ (êîòîðûå ðàññìîò-
ðåíû, íàïðèìåð, â ïðèìåðàõ 1.1.1 , 1.1.2 , 1.1.7) ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàð-
íûõ ôóíêöèé L0 (X) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì äîïîëíèòåëüíûì óñëîâè-
ÿì:

Óñëîâèå 1.1.8. Ôóíêöèÿ f (x) ≡ 1 ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L (X).                0

      ýòîì ñëó÷àå ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë îáû÷íî íîðìèðóþò óñëîâèåì

                                     I0 (1) = 1.                                (1.5)

                                           4

Страницы