Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 14 стр.

ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Äèðèõëå. Ôóíêöèÿ Äèðèõëå íå èíòåãðè-
ðóåìà ïî Ðèìàíó, òàê êàê äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ îòðåçêà [0 , 1] âåðõíÿÿ
èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè Äèðèõëå ðàâíà åäèíèöå, à íèæíÿÿ èíòå-
ãðàëüíàÿ ñóììà ðàâíà íóëþ. Ìû âèäèì, ÷òî óæå ïðîñòåéøèå îïåðàöèè
ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðèâîäÿò ê ôóíêöèÿì, êîòîðûå íå èíòåãðèðóåìû
ïî Ðèìàíó.
   Íàøà öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàñøèðèòü ïîíÿòèå èíòåãðàëà Ðèìà-
íà òàê, ÷òîáû èíòåãðèðóåìûìè îêàçàëèñü âñå ôóíêöèè, êîòîðûå â íåêî-
òîðîì åñòåñòâåííîì ñìûñëå ìîæíî ñ÷èòàòü ïðåäåëàìè èíòåãðèðóåìûõ ïî
Ðèìàíó ôóíêöèé è íà ýòîò êëàññ ôóíêöèé ðàñïðîñòðàíèòü ïîíÿòèå èí-
òåãðàëà òàê, ÷òîáû îíî ñîõðàíÿëî îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà.
    Ìû èñïîëüçóåì êîíñòðóêöèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîñòðîåíèåì èí-
òåãðàëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ. Îáùàÿ ñõåìà íàøèõ ðàññóæäåíèé ñîñòîèò â
òîì, ÷òîáû èíòåãðàë îò ïðåäåëà ôóíêöèé ðàññìàòðèâàòü êàê ïðåäåë èí-
òåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé. Â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå êàæäàÿ èç ôóíê-
öèé fn (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó è åå èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, Ïîýòîìó è
ïðåäåëüíîé ôóíêöèè - ôóíêöèè Äèðèõëå -åñòåñòâåííî ïðèïèñàòü çíà÷å-
íèå èíòåãðàëà, ðàâíîå íóëþ. Íàì íóæíî ðàçðàáîòàòü îáùèå ïðàâèëà äëÿ
òàêîé ïðîöåäóðû. Çàìåòèì, ÷òî â îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà âõîäÿò
òðè ïîíÿòèÿ: îáëàñòü, íà êîòîðîé îïðåäåëåíû èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè,
èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè è èíòåãðàë. Ìíîæåñòâî èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðè-
ìàíó ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî îïåðà-
öèé ïîòî÷å÷íîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà è îá-
ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: åñëè ôóíêöèÿ f (x) èíòåãðèðóåìà ïî Ðè-
ìàíó, òî è ôóíêöèÿ |f (x)| èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. Èíòåãðàë Ðèìàíà
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë (íàïîìíèì, ÷òî ôóíê-
öèîíàëîì îáû÷íî íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êîòîðî-
ãî åñòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé, à îáëàñòü çíà÷åíèé -îáëàñòü äåéñòâèòåëüíûõ
èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë) , çàäàííûé íà ìíîæåñòâå èíòåãðèðóåìûõ ôóíê-
öèé, ïðè÷åì ýòîò ôóíêöèîíàë íåîòðèöàòåëåí â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè
èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ,
òî è åå èíòåãðàë íåîòðèöàòåëåí. Ýòè ñâîéñòâà èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó
ôóíêöèé è èíòåãðàëà Ðèìàíà êëàäóòñÿ â îñíîâó ïðåäëàãàåìîãî â ñõåìå
Äàíèýëÿ îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà.
   Â äàëüíåøåì ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî X -ïðîèçâîëüíîå ìíîæå-
ñòâî, L0 (X) íåêîòîðîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé íà X ñî çíà÷åíèÿìè â îáëàñòè
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë:


                   L0 (X) 3 f : X 3 x 7→ f (x) ∈ R1 ,

                                   2