Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
0
L
0
(X)
I
0
: L
0
(X) 3 f 7→ I
0
(f) ∈ R
1
.
L
0
(X)
I
0
X
L
0
(X)
L
0
(X)
∀(f ∈ L
0
(X)) : sup{|f(x)| | x ∈ X} < ∞.
L
0
(X)
f(x) ∈ L
0
(X) , g(x) ∈ L
0
(X)
α , β ∈ R
1
h(x) = αf(x) + βg(x)
L
0
(X)
f(x) ∈ L
0
(X) |f(x)| ∈ L
0
(X).
max(f(x) , g(x)) =
1
2
(f(x) + g(x) + |f(x) − g(x)|),
min(f(x) , g(x)) = −max(−f(x) , −g(x)),
f(x) , g(x) ∈ L
0
(X)
max(f(x) , g(x)) ∈ L
0
(X) , min(f(x) , g(x)) ∈ L
0
(X).
   I0 -çàäàííûé íà L0 (X) ôóíêöèîíàë:

                        I0 : L0 (X) 3 f 7→ I0 (f ) ∈ R1 .

Ïðîñòðàíñòâî L0 (X) ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé. Ôóíêöèîíàë I0 ìû áóäåì íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûì èíòåãðà-
ëîì.
   Ïðè ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ íà îáëàñòü çàäàíèÿ èí-
òåãðèðóåìûõ ôóíêöèé (ìíîæåñòâî X ) íå íàëàãàåòñÿ êàêèõ-ëèáî îãðà-
íè÷åíèé.
   Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî L0 (X) óäîâëåòâîðÿåò ñëå-
äóþùèì òðåáîâàíèÿì.

Óñëîâèå 1.1.1. Ïðîñòðàíñòâî L (X) ñîñòîèò èç îãðàíè÷åííûõ ôóíê-
                                     0
öèé:
                 ∀(f ∈ L0 (X)) : sup{|f (x)| | x ∈ X} < ∞.

Óñëîâèå 1.1.2. Ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé L (X) åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàí-
                                                 0
ñòâî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ïîòî÷å÷íîãî ñëîæåíèÿ ôóíêöèé è óìíî-
æåíèÿ ôóíêöèé íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.

   Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ôóíêöèé

                        f (x) ∈ L0 (X) , g(x) ∈ L0 (X)

è ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë α , β ∈ R1 ôóíêöèÿ

                            h(x) = αf (x) + βg(x)

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L0 (X).

Óñëîâèå 1.1.3. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ∈ L (X), òî |f (x)| ∈ L (X).
                                             0                  0

   Òàê êàê
                                 1
             max(f (x) , g(x)) = (f (x) + g(x) + |f (x) − g(x)|),
                                 2
             min(f (x) , g(x)) = − max(−f (x) , −g(x)),

òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ 1.1.2 óñëîâèå 1.1.3 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ

Óñëîâèå 1.1.4. Åñëè f (x) , g(x) ∈ L (X) òî
                                         0


           max(f (x) , g(x)) ∈ L0 (X) , min(f (x) , g(x)) ∈ L0 (X).

                                         3

Страницы