Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[a , b] ⊂ R
1
x
1
, x
2
. . .
[0 , 1]
I(x
i
|x) =
(
1 , x = x
i
,
0 , x 6= x
i
.
f
n
(x) =
X
1≤i≤n
I(x
i
|x).
f
n
(x) [0 , 1]
x
i
, 1 ≤ i ≤ n f
n+1
(x) ≥
f
n
(x)
f(x) := lim
n→∞
f
n
(x) =
(
1 , x ,
0 , x .
f
n
(x) [0 , 1]
[0 , 1]
f
n
(x) [0 , 1]
Ãëàâà 1


Ýëåìåíòàðíûå ñâåäåíèÿ î

èíòåãðàëå è ìåðå.



1.1     Èíòåãðàë Ëåáåãà.

1.1.1    Îñíîâíûå ñòðóêòóðû, èñïîëüçóåìûå ïðè ïîñòðî-

         åíèè èíòåãðàëà ïî ñõåìå Äàíèýëÿ.

Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a , b] ⊂ R1 ôóíê-
öèÿ èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. Îäíîêî óæå â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ïðåäåë
êóñî÷íî-íåïåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæåò áûòü íå èíòåãðèðóåìûì ïî Ðèìàíó.
Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü x1 , x2 . . . -âñå ðàöèîíàëüíûå òî÷êè îòðåçêà
[0 , 1],                        (
                                 1 , åñëè x = xi ,
                     I(xi |x) =
                                 0 , åñëè x 6= xi .
Ïîëîæèì                              X
                          fn (x) =           I(xi |x).
                                     1≤i≤n

Ôóíêöèÿ fn (x) ðàâíà íóëþ âî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà [0 , 1], çà èñêëþ÷åíèåì
òî÷åê xi , 1 ≤ i ≤ n, â êîòîðûõ îíà ðàâíà åäèíèöå. ßñíî, ÷òî fn+1 (x) ≥
fn (x) è
                             (
                              1 , åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî,
       f (x) := lim fn (x) =                                        (1.1)
                n→∞           0 , åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî.

Êàæäàÿ èç ôóíêöèé fn (x) êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [0 , 1] è ïîýòî-
ìó èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà îòðåçêå [0 , 1], à åå èíòåãðàë ðàâåí íóëþ.
Ïðåäåë ôóíêöèé fn (x) ñóùåñòâóåò â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [0 , 1]. Ýòîò

                                      1

Страницы