Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
0
(X)
f
n
(x) [a , b]
[a , b]
lim
n→∞
Z
b
a
f
n
(x) dx =
Z
b
a
lim
n→∞
f
n
(x) dx = 0.
X K
K := {x|x = (x
1
, . . . , x
d
) ∈ R
d
, a
i
≤ x
i
≤ b
i
, a
i
< b
i
}.
L
0
(X) := C(K)
K
I
0
: C(K) 3 f 7→ I
0
(f) =
Z
K
f(x)dx , dx = dx
1
dx
2
. . . dx
d
.
L
0
(X)
X L
0
(X)
I
0
X = [a , b] ⊂ R
1
, L
0
(X)
[a , b]
X = K := {x|x = (x
1
, . . . , x
d
) ∈ R
d
, a
i
≤ x
i
≤ b
i
, a
i
< b
i
},
L
0
(X) := C(K)
K , g ∈ C(K) , g(x) ≥ 0 , x ∈ K,
I
0
: C(K) 3 f 7→ I
0
(f) =
Z
K
f(x)g(x)dx , dx = dx
1
dx
2
. . . dx
d
.
 ýòîì ñëó÷àå âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1.1.1-1.1.4 äëÿ ïðîñòðàíñòâà                        L0 (X)
è óñëîâèÿ 1.1.5-1.1.7 äëÿ ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà.

    Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ 1.1.7 Èç ïðèçíàêà ðàâíîìåðíîé ñõîäè-
ìñòè Äèíè ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
fn (x) ìîíîòîííî ñõîäèòñÿ ê íóëþ â êàæäîé òî÷êå îòðåçêà [a , b], òî îíà
ñõîäèòñÿ ê íóëþ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a , b], ïîýòîìó
                     Z b             Z b
                 lim     fn (x) dx =     lim fn (x) dx = 0.
                     n→∞    a                  a n→∞
   Îáîáùåíèåì ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ñëóæèò ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Óòâåðæäåíèå 1.1.2. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî X åñòü ïàðàëëåëèïèïåä K :
             K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , ai ≤ xi ≤ bi , ai < bi }.         (1.7)
Ïóñòü   L0 (X) := C(K) -ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà
ïàðàëëåëèïèïåäå  K , à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë çàäàí êàê èíòåãðàë Ðè-
ìàíà:
                                         Z
            I0 : C(K) 3 f 7→ I0 (f ) =         f (x)dx , dx = dx1 dx2 . . . dxd .
                                           K

 ýòîì ñëó÷àå óñëîâèÿ 1.1.1-1.1.4 äëÿ ïðîñòðàíñòâà                    L0 (X)   è óñëîâèÿ
1.1.5-1.1.7 äëÿ ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà âûïîëíåíû.

   Ýòè ïðèìåðû ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè äëÿ äàëüíåøåãî èçëîæåíèÿ: â äàëü-
íåøåì (åñëè íå îãîâîðåíî äðóãîå) ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîñòðàí-
ñòâî   X,   ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé                L0 (X) è ýëåìåíòàðíûé
èíòåãðàë I0 çàäàíû òàê, êàê â 1.1.1 èëè              1.1.2. Âñå äðóãèå ïðèìåðû ïðè
ïåðâîì ÷òåíèè ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü.
   ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ âûïîë-
íåíû óñëîâèÿ 1.1.1 -1.1.7.
Ïðèìåð 1.1.1. Ïóñòü X = [a , b] ⊂ R1 , L0 (X) -ïðîñòðàíñòâî âñåõ êóñî÷íî-
ëèíåéíûõ ôóíêöèé (êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ -ýòî òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ, ãðàôèê êîòîðîé åñòü ëîìàííàÿ ëèíèÿ) íà îòðåçêå [a , b], à ýëå-
ìåíòàðíûé èíòåãðàë çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (1.6).
Ïðèìåð 1.1.2. Ïóñòü

        X = K := {x|x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , ai ≤ xi ≤ bi , ai < bi },
L0 (X) := C(K) -ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ïàðàëëåëè-
ïèïåäå K , g ∈ C(K) , g(x) ≥ 0 , x ∈ K, à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë çàäàí
êàê èíòåãðàë Ðèìàíà:
                                  Z
       I0 : C(K) 3 f 7→ I0 (f ) =   f (x)g(x)dx , dx = dx1 dx2 . . . dxd .
                                       K


                                             6

Страницы