Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X
K := {x | x = (x
1
. . . x
d
) ∈ R
d
, a
j
≤ x
j
≤ b
j
, a
j
< b
j
},
C(K)
K
K
α , β
:= {x | x = (x
1
. . . x
d
) ∈ R
d
, a
j
≤ α
j
< x
j
< β
j
≤ b
j
}
L
+
(X)
f(x)
K x
0
∈ K
lim f(x) = +∞, x → x
0
f ∈ L
+
(K)
f
n
(x) = min(n , f(x)),
lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) ,
Z
f
n
(x) dx ≤
Z
f(x) dx < ∞.
f(x) = 1/
√
x
L
+
([0 , 1]) f(x) = −1/
√
x
L
+
([0 , 1])
f
n
(x) [0 , 1] f
n
(x) ≤
−1/
√
x
L
+
(X)
L
+
(X)
Ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1.31) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åñòü òà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðàÿ òðåáóåòñÿ â îïðåäåëåíèè 1.1.5.
   Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ
Óòâåðæäåíèå 1.1.5. Åñëè ïðîñòðàíñòâî X åñòü ïàðàëëåëèïèïåä
           K := {x | x = (x1 . . . xd ) ∈ Rd , aj ≤ xj ≤ bj , aj < bj },

ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé åñòü ìíîæåñòâî                 C(K) âñåõ íåïðå-
ðûâíûõ ôóíêöèé íà ïàðàëëåëèïèïåäå            K , à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë åñòü
èíòåãðàë Ðèìàíà, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ëþáîãî îòêðûòîãî
ïàðàëëåïèïåäà

         Kα , β := {x | x = (x1 . . . xd ) ∈ Rd , aj ≤ αj < xj < βj ≤ bj }

à òàêæå çàìêíóòîãî ïàðàëëåëèïèïåäà èëè ïàðàëëåëèïèïåäà ñ íåêîòî-
ðûìè ïðèñîåäèíåííûìè ãðàíÿìè ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó                      L+ (X).
   Íèæå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíê-
öèé -ýòî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè
çàäàíèÿ, à ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë -ýòî èíòåãðàë Ðèìàíà.
Ïðèìåð  1.1.13. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ ïàðàë-
ëåëèïèïåäà K çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè x0 ∈ K , íåîòðèöàòåëüíà, óäîâëå-
òâîðÿåò óñëîâèþ lim f (x) = +∞ , x → x0 è èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó â
íåñîáñòâåííîì ñìûñëå. Òîãäà f ∈ L+ (K).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíÿ äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü
                        fn (x) = min(n , f (x)),
äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíû óñëîâèÿ
                                 Z            Z
       ï.â. lim fn (x) = f (x) ,   fn (x) dx ≤ f (x) dx < ∞.                  (1.32)
             n→∞

 ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.32) ñòîèò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë Ðèìà-
íà.                                                       √
    Èç ýòîãî ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) =√1/ x ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó L+ ([0 , 1]). Íî ôóíêöèÿ f (x) = −1/ x íå ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó L+ ([0 , 1]), òàê êàê íå ñóùåñòâóåò òàêîé íåïðåðûâíîé ôóíê-
öèè √fn (x), êîòîðàÿ ïî÷òè âñþäó íà [0 , 1] óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó fn (x) ≤
−1/ x.
    Òàêèì îáðàçîì, ïðîñòðàíñòâî L+ (X) íå åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàí-
ñòâî.
    Ðàñïðîñòðàíèì íà ïðîñòðàíñòâî L+ (X) ïîíÿòèå èíòåãðàëà.

                                        20

Страницы