Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ
0
(x) ∈ L(X)
∀n : |φ
n
(x)| ≤ φ
0
(x),
φ ∈ L(X),
I(φ) = lim
n→∞
I(φ
n
) .
lim
n→∞
I(φ
n
) = I( lim
n→∞
φ
n
),
f
n,k
(x) := max{φ
n+j
(x) | 0 ≤ j ≤ k} , g
n,k
(x) := min{φ
n+j
(x) | 0 ≤ j ≤ k}.
|g
n,k
(x)| ≤ φ
0
(x) , |f
n,k
(x)| ≤ φ
0
(x).
f
n,k+1
(x) ≥ f
n,k
(x) , g
n,k+1
(x) ≤ g
n,k
(x).
∃(f
n
(x) ∈ L(X)): lim
k→∞
f
n,k
(x) = f
n
(x),
∃(g
n
(x) ∈ L(X)): lim
k→∞
g
n,k
(x) = g
n
(x).
f
n
(x) & φ(x) , g
n
(x) % φ(x) , n → ∞;
∀n : |g
n
(x)| ≤ φ
0
(x) , |f
n
(x)| ≤ φ
0
(x).
φ ∈ L(X) I(φ) = lim
n→∞
I(f
n
) = lim
n→∞
I(g
n
).
è ñóùåñòâóåò òàêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ôóíêöèÿ                 φ0 (x) ∈ L(X),   ÷òî

                          ∀n :   ï.â.   |φn (x)| ≤ φ0 (x),                      (1.73)

òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì        (1.72) ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà:

                                   φ ∈ L(X),                                    (1.74)

è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                              I(φ) = lim I(φn ) .                               (1.75)
                                         n→∞

Òàêèì îáðàçîì, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ              (1.72)-(1.73), òî ìû ìîæåì
óòâåðæäàòü, ÷òî îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà

                           lim I(φn ) = I( lim φn ),
                           n→∞                 n→∞

ñóùåñâóþò è ðàâíû.

   Äîêàçàòåëüñòâî.     Îïðåäåëèì ôóíêöèè

fn,k (x) := max{φn+j (x) | 0 ≤ j ≤ k} , gn,k (x) := min{φn+j (x) | 0 ≤ j ≤ k}.

Ñïðàâåäëèâû îöåíêè

                    |gn,k (x)| ≤ φ0 (x) , |fn,k (x)| ≤ φ0 (x).                  (1.76)

Î÷åâèäíî, ÷òî

                  fn,k+1 (x) ≥ fn,k (x) , gn,k+1 (x) ≤ gn,k (x).

 ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1.2 è îöåíêè (1.73) ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ

                  ∃(fn (x) ∈ L(X)) : lim fn,k (x) = fn (x),                     (1.77)
                                          k→∞
                  ∃(gn (x) ∈ L(X)) : lim gn,k (x) = gn (x).                     (1.78)
                                          k→∞

 ñèëó (1.72) îïðåäåëåííûå ðàâåíñòâàìè (1.77) -(1.78) ôóíêöèè óäîâëå-
òâîðÿþò óñëîâèÿì:

                  fn (x) & φ(x) , gn (x) % φ(x) , n → ∞;
                  ∀n : |gn (x)| ≤ φ0 (x) , |fn (x)| ≤ φ0 (x).

Ñíîâà ïðèìåíèÿ ñëåäñòâèå 1.1.2, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî

                φ ∈ L(X) è I(φ) = lim I(fn ) = lim I(gn ).
                                         n→∞            n→∞


                                          35

Страницы