Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

X Y f
f
−1
(B) σ B σ X
f : X 7→ Y
σ A ⊂ X σ B ⊂ Y
f
−1
(B) ⊂ A.
σ σ
σ
Y = R
1
σ
B R
1
σ
σ
X f : X 3 x →
f(x) ∈ R
1
σ A
X a ∈ R
1
{x | f(x) < a}
σ A.
A ⊂ X
R
1
σ
σ
X σ
f : X 7→ R
1
f(x)
A = {x | f(x) ≤ a} =
\
j>1
{x | f(x) < a + 1/j}
σ
σ
f(x) a ∈ R
1
A = {x | f(x) ≤ a}
-îòîáðàæåíèå X â Y . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè ëþáîì îòîáðàæåíèè f
ïîëíûé ïðîîáðàç f −1 (B) σ -àëãåáðû B åñòü íåêîòîðàÿ σ -àëãåáðà â X .
Îïðåäåëåíèå 1.2.5. Îòîáðàæåíèå f : X 7→ Y       èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî
σ -àëãåáðû A ⊂ X è σ -àëãåáðû B ⊂ Y , åñëè

                             f −1 (B) ⊂ A.

   Ïîíÿòèå èçìåðèìîñòè îòîáðàæåíèÿ íèêàê íå ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ìå-
ðû è îïèðàåòñÿ òîëüêî íà ïîíÿòèå σ -àëãåáðû, îäíàêî åñëè íà σ -àëãåáðå
çàäàíà ìåðà, òî ÷àñòî ãîâîðÿò îá èçìåðèìîñòè îòîáðàæåíèÿ îòíîñèòåëü-
íî ìåðû, ïîäðàçóìåâàÿ σ -àëãåáðó, íà êîòîðîé çàäàíà ìåðà.
   Åñëè Y = R1 , òî îáû÷íî ïî óìîë÷àíèþ ñ÷èòàþò, ÷òî â êà÷åñòâå σ -
àëãåáðû B â R1 âçÿòà íå ïîïîëíåííàÿ (ýòî âàæíî!) σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ
ìíîæåñòâ, ò.å. íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìû
âñå îòêðûòûå ìíîæåñòâà.  ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëåíèå 1.2.5 ýêâèâàëåíòíî
ñëåäóþùåìó.
Îïðåäåëåíèå 1.2.6. Çàäàííàÿ íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèÿ f : X 3 x →
f (x) ∈ R1 íàçûâàåòñÿ èçìåðèìîé îòíîñèòåëüíî σ -àëãåáðû A ïîäìíî-
æåñòâ ìíîæåñòâà X , åñëè ïðè ëþáîì a ∈ R1 ìíîæåñòâî {x | f (x) < a}
ïðèíàäëåæèò σ -àëãåáðå A.
Îïðåäåëåíèå 1.2.7. Ïîäìíîæåñòâî A ⊂ X íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì, åñ-
ëè åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èçìåðèìà â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.2.6.
   Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå R1 çàäàíà σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ (ò.å.
íàèìåíüøàÿ σ -àëãåáðà, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå îòêðûòûå ìíîæåñòâà), â
ïðîñòðàíñòâå X çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ σ -àëãåáðà è

                             f : X 7→ R1

-èçìåðèìîå â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.6 îòîáðàæåíèå. Äîêàæåì, ÷òî îíî
èçìåðèìî â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.5. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) èçìåðèìà â
ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.6, òî ìíîæåñòâî
                                    \
              A = {x | f (x) ≤ a} =   {x | f (x) < a + 1/j}  (1.112)
                                  j>1

èçìåðèìî, òàê êàê ñ÷åòíîå ïåðåñå÷åíèå ïðèíàäëåæàùèõ σ -àëãåáðå ìíî-
æåñòâ ñíîâà ïðèíàäëåæèò ýòîé σ -àëãåáðå.
   Åñëè ôóíêöèÿ f (x) òàêîâà, ÷òî ïðè ëþáîì a ∈ R1 ìíîæåñòâî

                          A = {x | f (x) ≤ a}                   (1.113)

                                  50

Страницы