Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ⊂ X
I
I(A | x) ∈ L(X),
µ(A) A
µ(A) := I(I(A | ·)).
σ σ
σ
A B
A
S
B , A
T
B , A \B
A B
f
A
n
(x) , f
B
n
(x)
: f
A
n
(x) → I(A | x) , f
B
n
(x) → I(B | x) , n → ∞.
φ
n
(x) = min(1 , |f
A
n
(x)| , |f
B
n
(x)|).
: φ
n
(x) → I(A
\
B | x) , φ
n
(x) ∈ L(X) , 0 ≤ φ
n
(x) ≤ 1.
I(A
T
B | x) A
T
B
I(A
[
B | x) = I(A | x) + I(B | x) − I(A
\
B | x).
A
S
B
A \B
I(A \B | x) = I(A | x) − I(A
\
B | x).
σ
σ
Îïðåäåëåíèå 1.2.9. Ìíîæåñòâî A ⊂ X èçìåðèìî (îòíîñèòåëüíî èíòå-
ãðàëà I ) , åñëè åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà:
                                 I(A | x) ∈ L(X),
è ìåðîé µ(A) ìíîæåñòâà A íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë îò åãî õàðàêòåðèñòè÷å-
ñêîé ôóíêöèè
                        µ(A) := I(I(A | ·)).                 (1.116)
   Äîêàæåì, ÷òî îïðåäåëåíèå 1.2.9 ñîãëàñóåòñÿ ñ îïðåäåëåíèåì ìåðû,
êîòîðîå äàíî âûøå.
Òåîðåìà 1.2.1. Åñòåñòâåííàÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìåðû â ñìûñëå îïðå-
äåëåíèÿ 1.2.9 åñòü    σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ        è íà ýòîé      σ -àëãåáðå   ìåðà â
ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ    1.2.9 σ -àääèòèâíà.

   Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìû ðàçîáúåì íà íåñêîëüêî ëåìì.
Ëåììà 1.2.1. Åñëè ìíîæåñòâà
                     S      T è B èçìåðèìû â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
                            A
1.2.9 , òî ìíîæåñòâà     A    B, A       B , A\B    òîæå èçìåðèìû â ñìûñëå
ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìíîæåñòâà A è B èçìåðèìû â ñìûñëå îïðåäåëå-
íèÿ 1.2.9, òî ñîãëàñíî ëåììå 1.1.12 ñóùåñòâóþò òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
fnA (x) , fnB (x) ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, ÷òî
          ï.â. : fnA (x) → I(A | x) , fnB (x) → I(B | x) , n → ∞.
Ïîëîæèì
                     φn (x) = min(1 , |fnA (x)| , |fnB (x)|).
Î÷åâèäíî, ÷òî
                             \
      ï.â. : φn (x) → I(A        B | x) , φn (x) ∈ L(X) , 0 ≤ φn (x) ≤ 1.
Ïî òåîðåìå Ëåáåãà  î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ìû ìîæåìTóòâåðæäàòü, ÷òî
ôóíêöèÿ I(A B | x) èíòåãðèðóåìà, ò.å. ìíîæåñòâî A B èçìåðèìî. Íî
             T
               [                                  \
            I(A B | x) = I(A | x) + I(B | x) − I(A B | x).
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî A B èçìåðèìî. Èçìåðèìîñòü ìíîæå-
                                   S
ñòâà A \ B ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà
                                              \
                 I(A \ B | x) = I(A | x) − I(A B | x).
Ëåììà äîêàçàíà.
   Ìû äîêàçàëè, ÷òî èçìåðèìûå â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 ìíîæåñòâà
îáðàçóþò àëãåáðó ìíîæåñòâ. Äîêàæåì, ÷òî ýòà àëãåáðà åñòü σ -àëãåáðà è
îïðåäåëåííàÿ íà íåé ðàâåíñòâîì (1.116) ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ σ -àääèòèâíà.

                                        53

Страницы