Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S
n
A(m , n) = {x | m2
−n
≤ f(x) < (m + 1)2
−n
}.
F
n
(x) :=
X
|m|≤2
n
m2
−n
I(A(m , n) | x).
µ
lim
n→∞
Z
|F
n
(x) − f(x)|µ(dx) = 0.
Z
|F
n
(x) − f(x)|µ(dx) =
X
|m|≤2
n
Z
I(A(m , n) | x)|F
n
(x) − f(x)|µ(dx) ≤ 2
−n+1
,
F
n
(x)
Z
F
n
(x) µ(dx) =
X
|m|≤2
n
m2
−n
µ({x | m2
−n
≤ f(x) < (m + 1)2
−n
}),
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn ôóíäàìåíòàëüíà è ïîýòî-
ìó èìååò ïðåäåë. Ëåììà äîêàçàíà.
   Ýòó ëåììó ìîæíî óòî÷íèòü. Ïîëîæèì

               A(m , n) = {x | m2−n ≤ f (x) < (m + 1)2−n }.

Îïðåäåëèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                          X
                Fn (x) :=   m2−n I(A(m , n) | x).
                                |m|≤2n

Ñïðàâåäëèâà

Ëåììà 1.2.5. Åñëè èíòåãðàë (îïðåäåëåííûé ïî Äàíèýëþ) è ìåðà µ ñâÿ-
çàíû ðàâåíñòâîì     (1.116), òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                           Z
                       lim    |Fn (x) − f (x)| µ(dx) = 0.            (1.126)
                      n→∞

   Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíà îöåíêà
          Z
            |Fn (x) − f (x)| µ(dx) =
           X Z
                   I(A(m , n) | x)|Fn (x) − f (x)| µ(dx) ≤ 2−n+1 ,
           |m|≤2n

êîòîðàÿ è äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.
   Âû÷èñëèì èíòåãðàë â ñìûñëå Äàíèýëÿ îò ôóíêöèè Fn (x). Ïîëó÷èì:
    Z                 X
       Fn (x) µ(dx) =   m2−n µ({x | m2−n ≤ f (x) < (m + 1)2−n }),
                       |m|≤2n

Îòñþäà è èç ïðåäûäóùåé ëåììû âûòåêàåò

Òåîðåìà 1.2.4. Èíòåãàë Ëåáåãà â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.8 ñîâïàäàåò
ñ èíòåãðàëîì Äàíèýëÿ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.1.8.

    Ìû äîêàçàëè ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé, äëÿ îñòàëü-
íûõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ëåáåãà.
    Âûÿñíèì ñâÿçü ìåæäó ìíîæåñòâàìè ìåðû íîëü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ
1.1.1 è òåìè èçìåðèìûìè â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 ìíîæåñòâàìè, äëÿ
êîòîðûõ îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (1.116) ìåðà ðàâíà íóëþ.
    Ìû óæå îáñóæäàëè ýòîò âîïðîñ â ñëåäñòâèè 1.1.4 è óòâåðæäåíèè 1.1.6.
Îñòàíîâèìñÿ íà ýòîì åùå ðàç.

                                         59

Страницы