Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

mod(µ)
σ
A
I
Z ⊂ A ∈ A
I
µ(A) = 0
Z ∈ A
I
µ(Z) = 0
X
σ
X
A
I
σ
µ σ A
I
σ A
I
L(X)
(f ∈ L(X)) ⇐⇒ (∀(a ∈ R
1
) : {x | f (x) < a} ∈ A
I
).
L(X) σ A
I
σ
∅ X L(X)
X L(X)
A
j
= [α
j
, α
j+1
)
R
1
σ
X σ L(X)
f : X 7→ R
1
,
L(X) f(x) , g(x) ∈
L(X), αf(x) + βg(x) ∈ L(X)
   Èìåííî â ýòîì ñìûñëå ìû ìîæåì òåïåðü ïîíèìàòü òåðìèí ïî÷òè âñþ-
äó âî âñåõ ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ.
   Êîãäà íóæíî ïîÿñíèòü, îòíîñèòåëüíî êàêîé ìåðû ìû ðàññìàòðèâàåì
ñâîéñòâî ïî÷òè âñþäó, ìû áóäåì ïèñàòü ï.â. mod(µ).
   Èç äîêàçàííîé íàìè ëåììû âûòåêàåò è óòâåðæäåíèå 1.1.7.
   Èç ëåììû 1.2.6 è óòâåðæäåíèÿ 1.1.3 ñëåäóåò, ÷òî ìåðà (1.116) íà σ -
àëãåáðå AI ïîëíà â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè Z ⊂ A ∈ AI è µ(A) = 0, òî
Z ∈ AI è µ(Z) = 0.
   Îïðåäåëåíèå (1.116) íå èñ÷åðïûâàåò âñå èíòåðåñíûå è âàæíûå äëÿ
ïðèëîæåíèé ñëó÷àè çàäàíèÿ ìåðû íà ìíîæåñòâå X : ñóùåñòâóþò ìåðû,
îïðåäåëåíèå êîòîðûõ åñòåñòâåííî çàäàâàòü èíà÷å.
   Ìîæíî ïîñòóïèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàäàòü íà íåêîòîðîé σ -àëãåáðå
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X ïîëíóþ âåðîÿòíîñòíóþ ìåðó. Äàëåå îïðåäå-
ëèòü èíòåãðàë ïî 1.2.8. Ýòîò èíòåãðàë ïðèíÿòü çà ýëåìåíòàðíûé èíòå-
ãðàë, à ïîòîì ïî ïîñòðîåííîìó èíòåãðàëó çàäàòü íîâóþ ìåðó. Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ìû ïîëó÷èì èñõîäíóþ ìåðó. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñòðîå-
íèè èíòåãðàëà â êîíå÷íîì ñ÷åòå áåçðàçëè÷íî ñ ÷åãî íà÷èíàòü: ñ çàäàíèÿ
ìåðû èëè ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà.

1.2.3    Èçìåðèìûå ôóíêöèè.

Ïóñòü AI åñòü σ -àëãåáðà èçìåðèìûõ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.9 ìíî-
æåñòâ, à ìåðà µ íà σ -àëãåáðå AI è èíòåãðàë ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (1.128).
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ (ñì. îïðåäåëåíèå 1.2.6) îòíîñèòåëüíî
σ -àëãåáðû AI ôóíêöèé ñèìâîëîì L(X). Òàêèì îáðàçîì,
        (f ∈ L(X)) ⇐⇒ (∀(a ∈ R1 ) : {x | f (x) < a} ∈ AI ).        (1.129)
Ìíîæåñòâî L(X) çàâèñèò îò σ -àëãåáðû AI . Íàïðèìåð, åñëè σ -àëãåáðà
ñîñòîèò èç äâóõ ìíîæåñòâ: ∅ è X , òî â ïðîñòðàíñòâî L(X) âõîäÿò òîëüêî
ïîñòîÿííûå íà X ôóíêöèè. Â ïðèìåðå 1.1.6 ïðîñòðàíñòâî L(X) ñîñòîèò
èç ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîëóèíòåðâàëîâ
Aj = [αj , αj+1 ).
   Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå R1 çàäàíà σ -àëãåáðà áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ, â
ïðîñòðàíñòâå X çàäàíà ïðîèçâîëüíàÿ σ -àëãåáðà è L(X) -ìíîæåñòâî îòîá-
ðàæåíèé
                             f : X 7→ R1 ,
-èçìåðèìûõ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.2.6.
Ëåììà 1.2.7. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
   1. Ìíîæåñòâî       L(X) åñòü ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî: åñëè f (x) , g(x) ∈
L(X),   òî   αf (x) + βg(x) ∈ L(X).

                                     61

Страницы