Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m2
n
, 0 < m < 2
n
, n ∈ Z
+
(t) G
[0 , 1]
(0) = 0 , (t) = sup
τ≤t
(τ) , τ ∈ G, 0 < t ≤ 1.
(t)
[0 , 1] (1) = 1 (t) [0 , 1]
(t) t
0
∈ [0 , 1]
(t
0
+ 0) >
(t
0
− 0) ( (t
0
− 0) , (t
0
+ 0))
(t) (t)
m2
−n
, 0 < m < 2
n
, n ∈ Z
+
(t)
(t)
[0 , 1]
(0) = 0 , (1) = 1
(t)
G
G
G
G
[0 , 1]
4/5 1/5
P
P
q
q =
X
1≤n<∞
3
−n
a(n) , a(n) = 0 , 2
ïðè÷åì âñå ÷èñëà âèäà m2n , 0 < m < 2n , n ∈ Z+ ïðèíàäëåæàò ìíîæå-
ñòâó çíà÷åíèé ôóíêöèè Êàíòîðà Ct(t) íà ìíîæåñòâå G.
   Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ Êàíòîðà íà âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà [0 , 1] ðàâåí-
ñòâàìè

          Ct(0) = 0 , Ct(t) = sup Ct(τ ) , τ ∈ G, 0 < t ≤ 1.        (1.140)
                                τ ≤t


ßñíî, ÷òî òàê îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ Ct(t) ìîíîòîííî íå óáûâàåò íà îò-
ðåçêå [0 , 1] è Ct(1) = 1. Äîêàæåì, ÷òî Ct(t) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [0 , 1].
 ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè Ct(t) â êàæäîé òî÷êå t0 ∈ [0 , 1] äîëæíû
ñóùåñòâîâàòü ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ct(t0 + 0) >
Ct(t0 − 0). Òîãäà èíòåðâàë (Ct(t0 − 0) , Ct(t0 + 0)) íå ìîæåò ñîäåðæàòü
çíà÷åíèé ôóíêöèè Ct(t) â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè Ct(t) , à ýòî ïðî-
òèâîðå÷èò òîìó, ÷òî âñå ÷èñëà âèäà m2−n , 0 < m < 2n , n ∈ Z+ ïðèíàä-
ëåæàò ìíîæåñòâó çíà÷åíèé ôóíêöèè Ct(t).
     Ìû äîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèÿ Êàíòîðà Ct(t) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîé-
ñòâàìè: îíà íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [0 , 1] è ìîíîòîííî íå óáûâàåò íà ýòîì
îòðåçêå, ïðè÷åì Ct(0) = 0 , Ct(1) = 1. Ïî ïîñòðîåíèþ ôóíêöèÿ Êàíòîðà
Ct(t) ïîñòîÿííà íà êàæäîì îòêðûòîì èíòåðâàëå, îáúåäèíåíèå êîòîðûõ
ñîñòàâëÿåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî G. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Êàíòî-
ðà äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà G è åå ïðî-
èçâîäíàÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà G. Òàê êàê äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà
G èìååò ìåðó íîëü, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèÿ Êàíòîðà äèôôåðåíöèðó-
åìà ïî÷òè âñþäó íà îòðåçêå [0 , 1] è åå ïðîèçâîäíàÿ ïî÷òè âñþäó ðàâíà
íóëþ. Ýòî ìîæåò ïðîòèâîðå÷èòü íàèâíûì ïðåäïîëîæåíèÿì î òîì, ÷òî
ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü íè÷åãî ïðîèçîéòè íå
ìîæåò.  äàííîì ñëó÷àå íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî åäèíèöû.
      íàøèõ ïîñòðîåíèÿõ ìû ôàêòè÷åñêè íèãäå íå èñïîëüçîâàëè òî îá-
ñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îòìå÷àåòñÿ èìåííî òðåòü îòðåçêà. Ê òåì æå âûâîäàì
ìîæíî áûëî áû ïðèéòè, åñëè áû íà êàæäîì øàãå îòìå÷àòü, íàïðèìåð,
îòêðûòûé èíòåðâàë äëèíû 4/5 èëè 1/5 îòìå÷àåìîãî îòðåçêà. Êëàññè÷å-
ñêàÿ êîíñòðóêöèÿ óäîáíà òåì, ÷òî îíà ïîçâîëÿåò ïðîñòî äîêàçàòü, ÷òî
çàìêíóòîå ìíîæåñòâî P èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Äåéñòâèòåëüíî, èç
ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâó P ïðèíàäëåæàò òå è òîëüêî òå ÷èñëà
q , êîòîðûå èìåþò âèä
                           X
                      q=       3−n a(n) , ãäå a(n) = 0 , 2
                        1≤n<∞


-ïðîèçâîëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç íóëåé è äâîåê. Íî âñå òàêèå ÷èñëà

                                       68

Страницы