Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
0
: f(x , y) 7→
Z
1
0
f(x , x) dx
I
0
C(K) I
0,1
, I
0,2
C(K
1
) , C(K
2
)
I
0
, I
0,1
, I
0,2
L(K) , L(K
1
) , L(K
2
)
µ(dxdy) , µ(dx, ·) , µ(·, dy).
I
0
, I
0,1
, I
0,2
µ(dxdy) K = K
1
×K
2
µ(dx , ·) µ(·, dy)
µ(dxdy) = µ(dx , ·) × µ(·, dy),
f(x , y) ∈ L(K)
µ(·, dy)
K
1
3 x 7→ f(x , y)
L(K
1
)
µ(dx , ·)
K
2
3 y 7→ f(x , y)
L(K
2
)
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1.142), à ôóíêöèîíàë
                                               Z   1
                           I0 : f (x , y) 7→           f (x , x) dx
                                               0

íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.142).
    Èç òîãî ôàêòà, ÷òî ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë I0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâè-
ÿì 1.1.5-1.1.7 íà ïðîñòðàíñòâå C(K) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèîíàëû I0,1 , I0,2 â
(1.142) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1.1.5-1.1.7 íà ïðîñòðàíñòâàõ C(K1 ) , C(K2 )
è ïîýòîìó ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ýëåìåíòàðíûå èíòåãðàëû íà ýòèõ
ïðîñòðàíñòâàõ.
    Ýëåìåíòàðíûå èíòåãðàëû I0 , I0,1 , I0,2 ïî ñõåìå Äàíèýëÿ ïîðîæäàþò
ïðîñòðàíñòâà L(K) , L(K1 ) , L(K2 ) ñîîòâåòñòâåííî è ýòèì èíòåãðàëàì
ñîîòâåòñòâóþò ìåðû

                            µ(dxdy) , µ(dx, ·) , µ(·, dy).

Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòè ìåðû ïîðîæäåííû ýëåìåíòàðíûìè èíòåãðà-
ëàìè I0 , I0,1 , I0,2 .

Îïðåäåëåíèå 1.2.15. Ìåðà µ(dxdy) íà êîìïàêòå K = K                    1   × K2 íàçûâà-
åòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìåð µ(dx , ·) è µ(· , dy):

                          µ(dxdy) = µ(dx , ·) × µ(· , dy),

åñëè ïîðîæäàþùèå èõ ýëåìåíòàðíûå èíòåãðàëû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
(1.142).

     Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ôóáèíè.

Òåîðåìà 1.2.6. Ïóñòü âûïîëíåíû âñå ñäåëàííûå âûøå ïðåäïîëîæåíèÿ
è   f (x , y) ∈ L(K).   Òîãäà
     1. Ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå       µ(· , dy)    ôóíêöèÿ

                                 K1 3 x 7→ f (x , y)

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó           L(K1 ).
     2. Ïî÷òè âñþäó ïî ìåðå       µ(dx , ·) ôóíêöèÿ

                                 K2 3 y 7→ f (x , y)

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó            L(K2 ).

                                          70

Страницы