Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
φ(x)µ(dx , ·) = lim
n→∞
Z
f
n
(x , y) µ(dxdy) =
Z
f(x , y) µ(dxdy).
x ∈ K
1
Z
f
n
(x , y) µ(·, dy),
x
y → lim
n→∞
f
n
(x , y) = f(x , y) ∈ L
+
(K
2
),
lim
n→∞
Z
f
n
(x , y) µ(·, dy) =
Z
f(x , y) µ(·, dy).
σ A m
1
m
2
m
1
m
2
B ∈ A
m
2
(B) = m
1
(C(B)) = 0.
m
2
(B) = 0 ∀(A ∈ A) : m
1
(A) = m
1
(A
\
B),
m
1
m
2
m
2
m
1
(t) , t ∈ [0 , 1]
σ A [0 , 1]
m (α , β) ⊂ [0 , 1]
m (α , β) = (β) − (α).
ïðè÷åì
  Z                     Z                     Z
    φ(x)µ(dx , ·) = lim   fn (x , y) µ(dxdy) = f (x , y) µ(dxdy). (1.147)
                     n→∞


   Ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ x ∈ K1 , ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò ïðåäåë â (1.146),
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ
                         Z
                           fn (x , y) µ(· , dy),

îãðàíè÷åíà â ñîâîêóïíîñòè, ïîýòîìó ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ x â ñèëó òåîðå-
ìû Áåïïî Ëåâè ôóíêöèÿ

                  y → lim fn (x , y) = f (x , y) ∈ L+ (K2 ),
                       n→∞

è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                 Z                        Z
             lim    fn (x , y) µ(· , dy) = f (x , y) µ(· , dy).
               n→∞

Òåîðåìà äîêàçàíà.

1.2.7    Ðàçëîæåíèå Ëåáåãà è òåîðåìà Ðàäîíà-Íèêîäèìà.

Ïóñòü íà σ -àëãåáðå A çàäàíû äâå ìåðû m1 è m2 .

Îïðåäåëåíèå 1.2.16.    Ìåðà m1 íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíîé îòíîñèòåëüíî
ìåðû m2 , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî B ∈ A, ÷òî

                           m2 (B) = m1 (C(B)) = 0.                (1.148)

   Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå (1.148) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
                                                   \
             m2 (B) = 0 è ∀(A ∈ A) : m1 (A) = m1 (A B),           (1.149)

è åñëè ìåðà m1 ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû m2 , òî ìåðà m2 ñèíãóëÿð-
íà îòíîñèòåëüíî ìåðû m1 .
    Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Ïóñòü Ct(t) , t ∈ [0 , 1] -ôóíêöèÿ Êàíòîðà. Ýòà
ôóíêöèÿ ìîíîòîííî íå óáûâàåò è íåïðåðûâíà, è ïîýòîìó (ñì. ïðèìåð
1.1.8) íà σ -àëãåáðå A áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [0 , 1] îíà ïîðîæ-
äàåò ìåðó mCt , êîòîðàÿ íà êàæäîì îòêðûòîì èíòåðâàëå (α , β) ⊂ [0 , 1]
ïðèíèìàåò çíà÷åíèå

                        mCt (α , β) = Ct(β) − Ct(α).

                                     72

Страницы