Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

σ A
X µ
E
±
µ
⊂ X , E
±
µ
∈ A
X = E
+
µ
[
E
−
µ
, E
+
µ
\
E
−
µ
= ∅
∀(A ∈ A) : µ(A
\
E
+
µ
) ≥ 0,
∀(A ∈ A) : µ(A
\
E
−
µ
) ≤ 0.
E
+
µ
⊂ X , E
+
µ
∈ A
E
−
µ
⊂ X , E
−
µ
∈ A
σ
A
β = inf µ(B),
{B
n
}
β = lim
n→∞
µ(B
n
).
B
n
⊂ B
n+1
,
β = µ(
[
n
B
n
),
(
[
n
B
n
) ∈ A,
β > −∞.
E
−
µ
:=
[
n
B
n
.
Òåîðåìà 1.2.9. Äëÿ ëþáîé îïðåäåëåííîé íà σ-àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâ
ìíîæåñòâà   X   ñ÷åòíî-àääèòèâíîé ôóíêöèè ìíîæåñòâ    µ   ñóùåñòâóþò
òàêèå ïîäìíîæåñòâà    Eµ± ⊂ X , Eµ± ∈ A,        ÷òî
                              [         \
                    X = Eµ+    Eµ− , Eµ+ Eµ− = ∅              (1.164)
                                    \
                    ∀(A ∈ A) : µ(A Eµ+ ) ≥ 0,                 (1.165)
                                    \
                    ∀(A ∈ A) : µ(A Eµ− ) ≤ 0.                 (1.166)

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû áóäåì íàçûâàòü ïîäìíîæåñòâî Eµ+ ⊂ X , Eµ+ ∈ A
ïîëîæèòåëüíûì, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1.165), è áóäåì íàçûâàòü ïîä-
ìíîæåñòâî Eµ− ⊂ X , Eµ− ∈ A îòðèöàòåëüíûì, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå
(1.166). Ñåìåéñòâî âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ (îòðèöàòåëüíûõ) ìíîæåñòâ íå
ïóñòî: ïóñòîå ìíîæåñòâî âñåãäà åñòü îäíîâðåìåííî è ïîëîæèòåëüíîå ìíî-
æåñòâî, è îòðèöàòåëüíîå ìíîæåñòâî. ßñíî, ÷òî ëþáîå ïðèíàäëåæàùåå σ -
àëãåáðå A ïîäìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíîãî (îòðèöàòåëüíîãî) ìíîæåñòâà
åñòü ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíîå (îòðèöàòåëüíîå), ïåðåñå÷åíèå ïîëîæè-
òåëüíûõ (îòðèöàòåëüíûõ) ìíîæåñòâ åñòü ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíîå (îò-
ðèöàòåëüíîå), îáúåäèíåíèå ïîëîæèòåëüíûõ (îòðèöàòåëüíûõ) ìíîæåñòâ
åñòü ìíîæåñòâî ïîëîæèòåëüíîå (îòðèöàòåëüíîå).
    Ïóñòü
                             β = inf µ(B),
ãäå íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì îòðèöàòåëüíûì ìíîæåñòâàì. Èç îïðå-
äåëåíèÿ òî÷íîé íèæíåé ãðàíè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü îòðèöàòåëüíûõ ìíîæåñòâ {Bn }, ÷òî

                           β = lim µ(Bn ).
                                   n→∞

Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ⊂ Bn+1 , ïîýòîìó
                                [
                          β = µ( Bn ),
                                       n

à òàê êàê                      [
                              ( Bn ) ∈ A,
                               n
òî
                               β > −∞.
Ïîëîæèì                                [
                              Eµ− :=         Bn .             (1.167)
                                         n


                                    77

Страницы