Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
p
(X)
L
p
(X)
l : L
p
(X) 7→ C
1
,
l(αf + βg) = αl(f) + βl(g),
|l(f
n
)| → 0 , kf
n
| L
p
(X)k → 0 , n → ∞.
∃C < ∞ : |l(f)| < Ckf | L
p
(X)k.
kl | L
p
(X)
?
k := sup{|l(f)| | kf | L
p
(X)k ≤ 1}
L
p
(X) 1 < p < ∞
f
0
(x) ≡ 1 L
0
(X)
I(1) = 1.
p q
1
p
+
1
q
= 1,
1 < p < ∞.
ω ∈ L
q
(X),
l(f) = I(ωf)
L
p
(X),
kl | L
p
(X)
?
k = kω | L
q
(X)k.
1.2.9   Îáùèé âèä ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèî-

        íàëà íà ïðîñòðàíñòâå               Lp (X).
Ëèíåéíûì íåïðåðûâíûì ôóíêöèîíàëîì íà ïðîñòðàíñòâå Lp (X) íàçûâà-
åòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå
                       l : Lp (X) 7→ C1 ,
êîòîðîå ëèíåéíî:
                        l(αf + βg) = αl(f ) + βl(g),
è íåïðåðûâíî:

                |l(fn )| → 0 , åñëè kfn | Lp (X)k → 0 , n → ∞.        (1.172)

Óñëîâèå (1.172) âûïîëíåíî, åñëè

                     ∃C < ∞ : |l(f )| < Ckf | Lp (X)k.                (1.173)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå (1.173) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷-
íûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà.
  ×èñëî
             kl | Lp (X)? k := sup{|l(f )| | kf | Lp (X)k ≤ 1}
íàçûâàåòñÿ íîðìîé ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà.
    Îáùèé âèä ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà ïðîñòðàíñòâå
L (X) 1 < p < ∞ îïèñàí â òåîðåìå 1.2.10. Äîêàçàòåëüñâó ýòîé òåîðåìû
  p

ìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óñëîâèå
1.1.8 âûïîëíåíî: ôóíêöèÿ f0 (x) ≡ 1 ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L0 (X) è
âûïîëíåíî óñëîâèå íîðìèðîâêè:

                                   I(1) = 1.

Íèæå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî p è q -ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè ñòå-
ïåíè:
                           1 1
                             + = 1,
                           p q
ïðè÷åì 1 < p < ∞.
Ëåììà 1.2.13. Åñëè ω ∈ L (X), òî ôîðìóëà
                             q


                                 l(f ) = I(ωf )                       (1.174)

çàäàåò ëèíåéíûé íåðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå            Lp (X), ïðè-
÷åì íîðìà ýòîãî ôóíêöèîíàëà åñòü

                        kl | Lp (X)? k = kω | Lq (X)k.                (1.175)

                                      80

Страницы