Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 274 стр.

Çàìå÷àíèå 3.10.3. Íå ñóùåñòâóåò ýëåìåíòîâ áàíàõîâîé àëãåáðû, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó
                             ab − ba = id
   Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü òàêèå ýëåìåíòû ñó-
ùåñòâóþò. Òîãäà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà

                    a2 b − aba = a , aba − ba2 = a,

ïîýòîìó

                    a2 b − ba2 = 2a,

è ïî èíäóêöèè

                    ∀n : an b − ban = nan−1 ,

ñëåäîâàòåëüíî

                    ∀n : nkan−1 k ≤ 2kakkbkkan−1 k,
÷òî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè kan−1 k = 0, à îòñþäà ñëåäóåò,
÷òî an−1 = an−2 = . . . = a = 0 = id.


3.11      Êîìåíòàðèè è ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ.

3.11.1    Îïðåäåëåíèå ëèíåéííîãî ïðîñòðàíñòâà.

Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî (âåêòîðíîãî) ïðîñòðàíñòâà. Ëèíåéíîå
ïðîñòðàíñòâî -ýòî êîììóòàòèâíàÿ (àáåëåâà) ãðóïïà, íà êîòîðîé îïðåäåëå-
íî ïîä÷èíÿþùååñÿ ðÿäó àêñèîì äåéñòâèå ïîëÿ ñêàëÿðîâ.  êà÷åñòâå ïîëÿ
ñêàëÿðîâ ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî äâà ïîëÿ: ïîëå äåéñòâèòåëü-
íûõ ÷èñåë è ïîëå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà äåéñòâè-
òåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìû ñ÷èòàåì èçâåñòíûìè, ïîýòîìó îáùåãî
îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ìû äàâàòü íå áóäåì. Îáùåðèíÿòûé ñïèñîê àêñèîì ëè-
íåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ìû ïðèâîäèì íèæå.
   Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L -ýòî ìíîæåñòâî, â êîòîðîì îïðåäåëåíû îïå-
ðàöèÿ ñëîæåíèÿ, ñòàâÿùàÿ êàæäûì äâóì ýëåìåíòàì a ∈ L , b ∈ L â
ñîîòâåòñòâèå òðåòèé ýëåìåíò, îáîçíà÷àåìûé ñèìâîëîì a + b, è îïðåðàöèÿ
óìíîæåíèÿ íà (êîìïëåêñíîå) ÷èñëî, ñòàâÿùàÿ êàæäîìó ÷èñëó λ ∈ C1 è
ýëåìåíòó a ∈ L â ñîîòâåòñòâèå îáîçíà÷àåìûé ñèìâîëîì λa ýëåìåíò ïðî-
ñòðàíñòâà L. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà
÷èñëî óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì àêñèîìàì.

                                  262