Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 272 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a = a(β) , b = a(β) +
da(β)
dβ
∆β + O((∆β)
2
)
∆β → 0
d
dβ
exp(ta(β)) =
Z
t
0
exp((t − τ)a(β))
da(β)
dβ
exp(τa(β))dτ.
a(β) = a + βb,
d
dβ
exp((a + βb))|
β=0
=
Z
1
0
exp((1 − τ)a)b exp(τa)dτ.
a(β) = −t exp(βa)h exp(−βa),
β = 0
[a , exp(−th)] = −
Z
t
0
exp(−(t − τ)h)[a , h] exp(−τh)dτ
[a , b] = ab − ba.
ln(exp A · exp B).
[A , B] := AB − BA.
      Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ýêñïîíåíòû.                       Ïîëîæèì â ôîð-
ìóëå (3.278)

                                            da(β)
                a = a(β) , b = a(β) +             ∆β + O((∆β)2 )
                                             dβ

è ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ∆β → 0. Ïîëó÷èì
                      Z t
       d                                    da(β)
         exp(ta(β)) =     exp((t − τ )a(β))       exp(τ a(β))dτ.          (3.279)
      dβ               0                     dβ

 ÷àñòíîñòè, åñëè
                                a(β) = a + βb,
òî                                Z   1
          d
            exp((a + βb))|β=0 =           exp((1 − τ )a)b exp(τ a)dτ.     (3.280)
         dβ                       0

Ôîðìóëû (3.279)-(3.280) èíîãäà íàçûâàþò ôîðìóëàìè Ôåéíìàíà.
  Ïîëîæèì â ôîðìóëå (3.279)

                       a(β) = −t exp(βa)h exp(−βa),

âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3.150) (ñì. ñòð. 202) è ïîòîì ïîëîæèì β = 0.
Ìû ïîëó÷èì:
                         Z t
      [a , exp(−th)] = −     exp(−(t − τ )h)[a , h] exp(−τ h)dτ (3.281)
                           0

ãäå
                               [a , b] = ab − ba.
Ôîðìóëà (3.281) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Êóáî (ïðàâäà, îíà âûïèñàíà â
íåïðèâû÷íûõ äëÿ ãëàçà ôèçèêà îáîçíà÷åíèÿõ).

      Ôîðìóëû Áåéêåðà-Êåìáåëëà-Õàóñäîðôà.        Ôèçèêè íàçûâþò ôîð-
ìóëàìè Áåéêåðà-Êåìáåëëà-Õàóñäîðôà (èëè ôîðìóëàìè Áåéêåðà-Õàóñäîðôà)
ðÿä ôîðìóë, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ êàê ñëåäñòâèå èçâåñòíîé â òåîðèè ãðóïï
Ëè ôîðìóëû Êåìáåëëà-Õàóñäîðôà äëÿ îïåðàòîðà ln(exp A · exp B). Ïî-
ëó÷èì íåêîòîðûå èç ýòèõ ôîðìóë. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îïåðàòî-
ðû îãàíè÷åíû, õîòÿ íà ïðàêòèêå ôîðìóëû ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿþòñÿ ê
íåîãðàíè÷åííûì îïåðàòîðàì.
   Ïîëîæèì
                        [A , B] := AB − BA.

                                          260

Страницы