Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 271 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t
dU(t , 0)y
0
dt
+
d
dt
Z
t
0
U(t , τ)f(τ)dτ =
a(t)U(t , 0)y
0
+
Z
t
0
a(t)U(t , τ)f(τ)dτ + U(t , t)f(t) =
a(t)y(t) + f(t).
a(t) t
a(t) ≡ a,
U(t , τ) = exp((t − τ )a),
y(t) = exp(ta)y
0
+
Z
t
0
exp((t − τ)a)f(τ)dτ.
dy(t)
dt
= ay(t) + by(t) , y(0) = y
0
.
a b t
f(t) = by(t)
exp(t(a + b))y
0
= exp(ta)y
0
+
Z
t
0
exp((t − τ)a)b exp(τ(a + b))y
0
dτ.
b 7→ b − a
y
0
exp(tb) − exp(ta) =
Z
t
0
exp((t − τ)a)(b −a) exp(τb)dτ.
    Äîêàçàòåëüñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3.275) ïî
t è èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (3.273), ìû ïîëó÷àåì:

                           d t
                              Z
           dU (t , 0)y0
                        +         U (t , τ )f (τ )dτ =
               dt          dt 0
                             Z t
           a(t)U (t , 0)y0 +     a(t)U (t , τ )f (τ )dτ + U (t , t)f (t) =
                               0
           a(t)y(t) + f (t).

Ëåììà äîêàçàíà.
  Ôîðìóëà (3.275) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Äþàìåëÿ.
  Åñëè îïåðàòîð a(t) íå çàâèñèò îò t:

                                     a(t) ≡ a,

òî
                            U (t , τ ) = exp((t − τ )a),
è ôîðìóëà Äþàìåëÿ ïðèíèìàåò âèä
                                Z t
             y(t) = exp(ta)y0 +     exp((t − τ )a)f (τ )dτ.                      (3.276)
                                          0

Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

                       dy(t)
                             = ay(t) + by(t) , y(0) = y0 .                       (3.277)
                        dt
ãäå îïåðàòîðû a è b íå çàâèñÿò îò t. Ïîëàãàÿ

                                   f (t) = by(t)

è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (3.277), ìû ïîëó÷àåì:
                                      Z     t
     exp(t(a + b))y0 = exp(ta)y0 +              exp((t − τ )a)b exp(τ (a + b))y0 dτ.
                                        0

Çàìåíÿÿ â ýòîì óðàâíåíèè
                                    b 7→ b − a
è èñïîëüçóÿ ïðîèçâîëüíîñòü y0 , ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó
                          Z t
      exp(tb) − exp(ta) =     exp((t − τ )a)(b − a) exp(τ b)dτ.                  (3.278)
                               0


                                          259

Страницы