Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 269 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
Dom(A)
A : B ⊃ Dom(A) 7→ B.
R
1
+
3 t 7→ y(t , y
0
) ∈ Dom(A)
dy(t , y
0
)
dt
= Ay(t , y
0
) , 0 < t < ∞, y(+0 , y
0
) = y
0
,
1. ∀(t > 0) : ∃
dy(t , y
0
)
dt
∈ B.
2. ∀(t > 0) : y(t , y
0
) ∈ Dom(A)
3. ky(t , y
0
) − y
0
k → 0 , t → +0
A
C
0
, y
0
∈ Dom(A)
y(t , y
0
) = T (t)y
0
,
T (t) A
z(t)
dz(t)
dt
= Az(t) , t > 0 , z(+0) = 0.
∀(0 < τ < t) :
d
dτ
T (t −τ)z(τ) = −AT (t − τ)z(τ) + AT (t − τ)z(τ) ≡ 0.
∀t > 0 : T (0)z(t) = z(t) = T (t)z(0) = 0.
3.10.2      Àáñòðàêòíàÿ çàäà÷à Êîøè.

Ïóñòü A -ëèíåéíûé (íå îáÿçàòåëüíî íåïðåðûâíûé) îïåðàòîð ñ îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ Dom(A):

                            A : B ⊃ Dom(A) 7→ B.

Îïðåäåëåíèå 3.10.4. Ôóíêöèÿ
                         R1+ 3 t 7→ y(t , y0 ) ∈ Dom(A)                    (3.270)

íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì àáñòðàêòíîé çàäà÷è Êîøè
        dy(t , y0 )
                    = Ay(t , y0 ) , 0 < t < ∞ , y(+0 , y0 ) = y0 ,         (3.271)
           dt
åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
                                         dy(t , y0 )
                        1. ∀(t > 0) : ∃              ∈ B.
                                             dt
                        2. ∀(t > 0) : y(t , y0 ) ∈ Dom(A)
                        3. ky(t , y0 ) − y0 k → 0 , t → +0

è ðàâåíñòâî (3.271).
Òåîðåìà 3.10.4. Åñëè îïåðàòîð A åñòü èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðà-
òîð ïîëóãðóïïû êëàññà      C0 , y0 ∈ Dom(A), òî àáñòðàêòíàÿ çàäà÷à Êîøè
(3.271) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå:

                                y(t , y0 ) = T (t)y0 ,

ãäå   T (t) -ïîëóãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì A.
    Â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ òîëüêî åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Ïóñòü
z(t) -ðåøåíèå àáñòðàêòíîé çàäà÷è Êîøè:
                       dz(t)
                             = Az(t) , t > 0 , z(+0) = 0.
                        dt
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                    d
  ∀(0 < τ < t) :      T (t − τ )z(τ ) = −AT (t − τ )z(τ ) + AT (t − τ )z(τ ) ≡ 0.
                   dτ
Ñëåäîâàòåëüíî,

                   ∀t > 0 : T (0)z(t) = z(t) = T (t)z(0) = 0.

Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                          257

Страницы