Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 270 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a , b ∈ L(B 7→ B)
exp(t(a + b)) = lim
n→∞
(exp(ta/n) · exp(tb/n))
n
.
(exp(ta/n) · exp(tb/n))
n
=
(id + ta/n + O((1/n)
2
))(id + tb/n + O((1/n)
2
))
n
=
(id + ta/n + tb/n + O((1/n)
2
))
n
→ exp(t(a + b)) , n → ∞.
R
1
+
3 t 7→ a(t) ∈ L(B 7→ B)
U(t , τ)
dU(t , τ)
dt
= a(t)U(t , τ) , 0 < τ < t < ∞ , U(τ , τ) = id.
dy(t)
dt
= a(t)y(t) + f(t) , y(0) = y
0
y(t) = U(t , 0)y
0
+
Z
t
0
U(t , τ)f(τ)dτ.
3.10.3     Íåêîòîðûå ðàâåíñòâà, ñâÿçàííûå ñ òåîðèåé ïî-

           ëóãðóïï.

Âûâåäåì íåêîòîðûå ïîëåçíûå è ÷àñòî èñïîëüçóåìûå ðàâåíñòâà, êîòîðûå
ñâÿçàíû ñ òåîðèåé ïîëóãðóïï. Äëÿ óäîáñòâà âûâîäà íóæíûõ íàì ðà-
âåíñòâ ìû áóäåì ñ÷èòàòü âñå âñòðå÷àþùèåñÿ îïåðàòîðû îãðàíè÷åííû-
ìè. Â ïðèëîæåíÿõ îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè ýòèõ ðàâåíñòâ èññëåäóåòñÿ â
êàæäîì ñëó÷àå îòäåëüíî.

  Ôîðìóëà Òðîòòåðà.
Ëåììà 3.10.17. a , b ∈ L(B 7→ B), òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                exp(t(a + b)) = lim (exp(ta/n) · exp(tb/n))n .                (3.272)
                                    n→∞

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

         (exp(ta/n) · exp(tb/n))n =
                                                          n
          (id + ta/n + O((1/n)2 ))(id + tb/n + O((1/n)2 )) =
                                          n
          (id + ta/n + tb/n + O((1/n)2 )) → exp(t(a + b)) , n → ∞.

Ôîðìóëà (3.272) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òðîòòåðà.

  Ôîðìóëà Äþàìåëÿ.
Ëåììà 3.10.18. Ïóñòü ôóíêöèÿ
                         R1+ 3 t 7→ a(t) ∈ L(B 7→ B)

íåïðåðûâíà. Ïóñòü     U (t , τ )   -ðåøåíèå óðàâíåíèÿ:

      dU (t , τ )
                  = a(t)U (t , τ ) , 0 < τ < t < ∞ , U (τ , τ ) = id.         (3.273)
         dt
Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è

                      dy(t)
                            = a(t)y(t) + f (t) , y(0) = y0                    (3.274)
                       dt
äàåòñÿ ôîðìóëîé
                                           Z        t
                    y(t) = U (t , 0)y0 +                U (t , τ )f (τ )dτ.   (3.275)
                                                0


                                          258

Страницы