Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 466 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
(R
d
, dξ)
f ∈ H
s
(R
d
) , s > d/2 +
|m| + α , 0 < α < 1 D
m
f(x)
H
s
(R
d
)
f ∈ S
?
(R
d
)
∃(C , N) , ∀(φ ∈ S(R
d
)) : |f(φ)| ≤ Ckφ | (N , S)k.
K ⊂ R
d
C(K)
∀(φ ∈ S(R
d
) , φ b K) : |kφ | (N , S)k ≤
C(K)kφ | C
N , α
0
(R
d
)k ≤ C(d , s)kφ | H
d/2+N+α
(R
d
)k.
H
s
(R
d
)
H
−s
(R
d
)
f(x) , x ∈ R
d
M ⊂
R
d
f(x) x ∈
M
M ⊂ R
d
f(x)
H
s
(R
d
) , s ≥ 0,
x 7→ y(x)
f(x) ∈ H
s
(R
d
) , s ≥ 0
f
n
(x) ∈ S(R
d
)
kf − f
n
| H
s
(R
d
)k → 0 , n → ∞.
S(R
d
) τ
S
τ
S
: S(R
d
) 7→ S(R
d−1)
) , τ
S
f(x
1
, . . . x
d−1
) = f(x
1
, . . . , x
d−1
, 0).
f ∈ H
s
(R
d
) , s > 1/2 , f
n
(x) ∈ S(R
d
) , kf − f
n
| H
s
(R
d
)k → 0 , n → ∞,
Ïðåäåë â (6.125) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà L2 (Rd , dξ).
   Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè f ∈ H s (Rd ) , s > d/2 +
|m| + α , 0 < α < 1, òî îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ Dm f (x) ñîâïàäàåò ñ
êëàññè÷åñêîé.
   Èç äîêàçàííîé òåîðåìû è òåîðåìû 6.4.3 ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ìåäëåííî
ðàñòóùåå ðàñïðåäåëåíèå ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì ïðèíàäëåæèò íåêîòî-
ðîìó ïðîñòðàíñòâó H s (Rd ).
   Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f ∈ S ? (Rd ), òî

                 ∃(C , N ) , ∀(φ ∈ S(Rd )) : |f (φ)| ≤ Ckφ | (N , S)k.

Åñëè K ⊂ Rd -êîìïàêò, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C(K), ÷òî

               ∀(φ ∈ S(Rd ) , suppφ b K) : |kφ | (N , S)k ≤
               C(K)kφ | C0N , α (Rd )k ≤ C(d , s)kφ | H d/2+N +α (Rd )k.

Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå ìåäëåííî ðàñòóùåå ðàñïðåäåëåíèå ñ êîìïàêòíûì
íîñèòåëåì çàäàåò ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà íåêîòîðîì ïðî-
ñòðàíñòâå H s (Rd ) è ïîýòîìó ìîæåò áûòü îòîæäåñòâëåíî ñ ýëåìåíòîì ïðî-
ñòðàíñòâà H −s (Rd ).
   Íàïîìíèì, ÷òî ñëåäîì ôóíêöèè f (x) , x ∈ Rd íà ìíîãîîáðàçèè M ⊂
Rd íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f (x), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ òî÷êè x ∈
M . Ðàñïðåäåëåíèå íå åñòü ôóíêöèÿ òî÷êè, ïîýòîìó ïîíÿòèå ñëåäà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ íà ìíîãîîáðàçèè M ⊂ Rd íóæäàåòñÿ â îòäåëüíîì îïðåäåëå-
íèè. Òàê êàê ñâîéñòâî çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé f (x) ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè-
íàäëåæàòü ïðîñòðàíñòâó H s (Rd ) , s ≥ 0, èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ãëàä-
êèõ çàìåí ïåðåìåííûõ x 7→ y(x), òî äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ñëå-
äà íà ãèïåðïëîñêîñòè, ÷òî è áóäåò ñäåëàíî íèæå.
   Ïóñòü f (x) ∈ H s (Rd ) , s ≥ 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü fn (x) ∈ S(Rd ), ÷òî

                            kf − fn | H s (Rd )k → 0 , n → ∞.                          (6.126)

Íà ôóíêöèÿõ èç S(Rd ) êîððåêòíî îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ τS âçÿòèÿ ñëåäà:

     τS : S(Rd ) 7→ S(Rd−1) ) , τS f (x1 , . . . xd−1 ) = f (x1 , . . . , xd−1 , 0).   (6.127)

Òåîðåìà 6.4.5. Åñëè
 f ∈ H s (Rd ) , s > 1/2 , fn (x) ∈ S(Rd ) , kf − fn | H s (Rd )k → 0 , n → ∞,
                                                                          (6.128)
òî


                                              454

Страницы