Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 468 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d
τ
S
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
) =
1
2π
∞
Z
−∞
b
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
, ξ
d
)dξ
d
.
|
d
τ
S
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
)|
2
≤
const.
∞
Z
−∞
(1 + |ξ|
2
)
−s
dξ
n
×
∞
Z
−∞
|
b
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
, ξ
d
)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
n
=
const.(1 + ξ
2
1
+ . . . ξ
2
d−1
)
1/2−s
×
∞
Z
−∞
|
b
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
, ξ
d
)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
n
,
|
d
τ
S
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
)|
2
(1 + ξ
2
1
+ . . . ξ
2
d−1
)
s−1/2
≤
const.
∞
Z
−∞
|
b
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
, ξ
d
)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
d
,
Z
|
d
τ
S
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
)|
2
(1 + ξ
2
1
+ . . . ξ
2
d−1
)
s−1/2
dξ
1
. . . dξ
d−1
≤
const.
Z
|
b
f(ξ
1
, . . . , ξ
d−1
, ξ
d
)|
2
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
1
. . . ξ
d
.
f ∈ S(R
d
)
f
n
∈ S(R
d
)
H
s
(R
d
) τ
H
f
n
H
s−1/2
(R
d−1
)
H
s
(R
d
) f f
n
∈ S(R
d
)
τ
H
f
n
f
n
f
˚
H
p
(D)
D R
d
C
∞
00
(D) = {φ | φ ∈ C
∞
(R
d
) , φ b D}.
˚
H
p
(D)
C
∞
00
(D) H
p
(R
d
)
˚
H
p
(D) := Cl(C
∞
00
(D)).
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                                      Z∞
                                               1
                  τd
                   S f (ξ1 , . . . , ξd−1 ) =                fb(ξ1 , . . . , ξd−1 , ξd )dξd .
                                              2π
                                                    −∞

Äàëåå èìååì:
                             2
  |τd
    S f (ξ1 , . . . , ξd−1 )| ≤

           Z∞                      Z∞                                                
                             2 −s
  const.          (1 + |ξ| ) dξn ×       |fb(ξ1 , . . . , ξd−1 , ξd )|2 (1 + |ξ|2 )s dξn =
            −∞                                −∞
                                               Z∞
  const.(1 + ξ12 + . . . ξd−1
                          2
                              )1/2−s ×                |fb(ξ1 , . . . , ξd−1 , ξd )|2 (1 + |ξ|2 )s dξn ,
                                               −∞
                              2          2         2    s−1/2
  |τd
    S f (ξ1 , . . . , ξd−1 )| (1 + ξ1 + . . . ξd−1 )           ≤
           Z ∞

  const.         |fb(ξ1 , . . . , ξd−1 , ξd )|2 (1 + |ξ|2 )s dξd ,
          −∞
   Z
                                2      2          2    s−1/2
     |τd
       S f (ξ1 , . . . , ξd−1 )| (1 + ξ1 + . . . ξd−1 )      dξ1 . . . dξd−1 ≤
         Z
  const. |fb(ξ1 , . . . , ξd−1 , ξd )|2 (1 + |ξ|2 )s dξ1 . . . ξd .

Ìû äîêàçàëè íåðàâåíñòâî (6.129) äëÿ ôóíêöèé èç f ∈ S(Rd ). Èç ýòîãî
íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ∈ S(Rd ) ôóíäàìåí-
òàëüíà â ìåòðèêå H s (Rd ), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τH fn ôóíäàìåíòàëüíà
â ìåòðèêå H s−1/2 (Rd−1 ). Òàê êàê ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ
â ìåòðèêå H s (Rd ) ê ðàñïðåäåëåíèþ f ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ∈ S(Rd ),
òî ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè τH fn íå çàâèñèò îò âûáîðà àïïðîêñèìè-
ðóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn , à çàâèñèò òîëüêî îò ðàñïðåäåëåíèÿ f .
Òåîðåìà äîêàçàíà.

6.4.4      Ïðîñòðàíñòâà                  H̊ p (D).
Ïóñòü D -îòðêðûòàÿ îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rd ,
                        ∞
                       C00 (D) = {φ | φ ∈ C ∞ (Rd ) , suppφ b D}.
Îïðåäåëåíèå 6.4.5. Ïðîñòðàíñòâî H̊ (D) -ýòî çàìûêàíèå ìíîæåñòâà
                                                              p
 ∞
C00 (D)   â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H (R ):          p      d

                                                    ∞
                                    H̊ p (D) := Cl(C00 (D)).

                                                   456

Страницы