Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 470 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

κ(x)
κ(x) ≡ 1 , x ∈ D.
∀(φ ∈ B
q
) : φ(x) = κ(x)φ(x),
b
φ(ξ) =
Z
bκ(ξ −η)
b
φ(η)dη,
|
b
φ(ξ)|
2
≤
Z
|bκ(ξ −η)|
2
(1 + |η|
2
)
−q
dη
×
Z
|
b
φ(η)|
2
(1 + |η|
2
)
q
dη
≤
Z
|bκ(ξ −η)|
2
dη = const.
|
b
φ(ξ
1
) −
b
φ(ξ
2
)|
2
≤
Z
|bκ(ξ
1
− η) − bκ(ξ
2
− η)|
2
(1 + |η|
2
)
−q
dη ≤
Z
|bκ(η)|
2
|exp(ξ
1
− ξ
2
, η) − 1|
2
dη.
{φ
n
} ⊂ B
q
> 0
{φ
n
} {φ
n
}
{φ
n
} ⊂ {φ
n
},
∃N , ∀(n > N , m > N) : kφ
n
− φ
m
| H
p
(R
d
)k < .
kφ
n
− φ
m
| H
p
(R
d
)k
2
=
Z
|ξ|<R
|
b
φ
n
(ξ) −
b
φ
m
(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p
dξ +
Z
|ξ|>R
|
b
φ
n
(ξ) −
b
φ
m
(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p
dξ ≤
4(1 + R
2
)
p−q
+
Z
|ξ|<R
|
b
φ
n
(ξ) −
b
φ
m
(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p
dξ.
R
R {φ
n
}
{φ
n
}
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü κ(x) -ôóíêöèÿ òèïà ãðèá è

                                  κ(x) ≡ 1 , x ∈ D.

Òîãäà

  ∀(φ ∈ Bq ) : φ(x) = κ(x)φ(x),
          Z
  φ(ξ)
  b = κ     b(ξ − η)φ(η)dη,
                      b
            Z                            Z                     
        2                  2        2 −q            2        2 q
  |φ(ξ)| ≤
   b             |b
                  κ(ξ − η)| (1 + |η| ) dη ×   |φ(η)| (1 + |η| ) dη ≤
                                               b
   Z
      κ(ξ − η)|2 dη = const.
     |b

  |φ(ξ     b 2 )|2 ≤
   b 1 ) − φ(ξ
   Z
     |b
      κ(ξ1 − η) − κ b(ξ2 − η)|2 (1 + |η|2 )−q dη ≤
   Z
      κ(η)|2 | exp(ξ1 − ξ2 , η) − 1|2 dη.
     |b

Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 6.4.4. Åñëè {φ } ⊂ B , òî äëÿ ëþáîãî  > 0 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                           n        q
{φn }   ñîäåðæèò òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü                  {φn }:

                                    {φn } ⊂ {φn },

÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå

             ∃N , ∀(n > N , m > N ) : kφn − φm | H p (Rd )k < .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

  kφn − φm | H p (Rd )k2 =
   Z                                      Z
                         2        2 p
      |φbn (ξ) − φbm (ξ)| (1 + |ξ| ) dξ +            |φbn (ξ) − φbm (ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ ≤
 |ξ|R
                    Z
  4(1 + R2 )p−q +        |φbn (ξ) − φbm (ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ.
                 |ξ|

Страницы