Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 469 стр.

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ВУЗ: 

МГУ | Москва

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˚
H
p
(D)
H
p
(R
d
) H
p
(R
d
)
˚
H
p
(D) ⊂ H
p
(R
d
).
p > 1/2 ∂D D
˚
H
p
(D)
f ∈ H
s
(R
d
) D
∀(q > p) :
˚
H
q
(D) ⊂
˚
H
p
(D) , ∀(p ≥ 0) :
˚
H
p
(D) ⊂ L
2
(D).
q > p
˚
H
q
(D) 7→
˚
H
p
(D)
B
q
= {φ | φ ∈
˚
H
q
(D) , kφ | H
q
(R
d
)k ≤ 1}
H
p
(R
d
)
p ≥ 0
∀(φ ∈ B
q
, q > p) :
Z
|ξ|>R
|
b
φ(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p
dξ ≤ (1 + R
2
)
p−q
.
Z
|ξ|>R
|
b
φ(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p
dξ =
Z
|ξ|>R
|
b
φ(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
p−q
(1 + |ξ|
2
)
q
dξ ≤
(1 + R
2
)
p−q
Z
|
b
φ(ξ)|
2
(1 + |ξ|
2
)
q
dξ ≤ (1 + R
2
)
p−q
.
{ξ | |ξ| ≤ R}
{
b
φ(ξ) | φ(ξ) ∈ B
q
}
   Ïðîñòðàíñòâî H̊ p (D) ìû ðàññìàòðèâàåì êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ïðî-
ñòðàíñòâà H p (Rd ) âìåñòå ñ èíäóöèðîâàííîé èç ïðîñòðàíñòâà H p (Rd ) ìåò-
ðèêîé, ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è íîðìîé:

                                 H̊ p (D) ⊂ H p (Rd ).

Åñëè p > 1/2 è ãðàíèöà ∂D îáëàñòè D äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ, òî ïðî-
ñòðàíñòâî H̊ p (D) ìîæíî ðàñìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî òåõ ðàñïðåäåëåíèé
f ∈ H s (Rd ), êîòîðûå ðàâíû íóëþ íà ãðàíèöå îáëàñòè D.
   ßñíî, ÷òî

          ∀(q > p) : H̊ q (D) ⊂ H̊ p (D) , ∀(p ≥ 0) : H̊ p (D) ⊂ L2 (D).

Òåîðåìà 6.4.6. Ïðè q > p âëîæåíèå
                                  H̊ q (D) 7→ H̊ p (D)

êîìïàêòíî.

   Óòâåðæäåíèå òåîðåìû îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî

                    Bq = {φ | φ ∈ H̊ q (D) , kφ | H q (Rd )k ≤ 1}

êîìïàêòíî â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H p (Rd ).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîñòîòû ìû ðàññìîòðèì òîëüêî ñëó÷àé p ≥ 0.
 ýòîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêöèÿìè, êîòî-
ðûå çàäàþò ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ìû ïðåäïîøëåì
íåñêîëüêî ëåìì.
Ëåììà 6.4.2. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
                                  Z
        ∀(φ ∈ Bq , q > p) :              b 2 (1 + |ξ|2 )p dξ ≤ (1 + R2 )p−q .
                                        |φ(ξ)|
                                |ξ|>R

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
     Z                          Z
               2        2 p                    b 2 (1 + |ξ|2 )p−q (1 + |ξ|2 )q dξ ≤
         |φ(ξ)| (1 + |ξ| ) dξ =
          b                                   |φ(ξ)|
     |ξ|>R                            |ξ|>R
                    Z
     (1 + R2 )p−q        b 2 (1 + |ξ|2 )q dξ ≤ (1 + R2 )p−q .
                        |φ(ξ)|

Ëåììà 6.4.3. Â ëþáîì ôèêñèðîâàíîì øàðå {ξ | |ξ| ≤ R} ìíîæåñòâî
ôóíêöèé      {φ(ξ)
              b    | φ(ξ) ∈ Bq }      ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî è ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíî.


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