Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 475 стр.

Ïðèëîæåíèå A


Ïðèëîæåíèå



A.1     Ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ.

Ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ (ïî äðóãîé òåðìèíîëîãèè -îòîáðàæåíèå Âåéëÿ
èëè âåéëåâñêîå êâàíòîâàíèå) áûëî ââåäåíî â ðàííèõ ðàáîòàõ ïî êâàí-
òîâîé ìåõàíèêå êàê àëãîðèòì, êîòîðûé ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðñòðàí-
ñòâå (êëàññè÷åñêîé íàáëþäàåìîé) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå (êâàíòîâóþ íàáëþäàåìóþ). Âåéëåâñêîå êâàíòîâà-
íèå îáðàòèìî: êàæäûé îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå
(ýòà ôóíêöèÿ îáû÷íî íàçûâàåòñÿ âåéëåâñêèì ñèìâîëîì îïåðàòîðà). Ýòî
îáñòîÿòåëüñòâî ëåæèò â îñíîâå ìåòîäà ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà â êâàíòî-
âîé ìåõàíèêå, ïðè êîòîðîì îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ôîðìå
Ãåéçåíáåðãà çàìåíÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè (îáû÷íî èíòåãðîäèôôåðåíöèàëü-
íûìè) äëÿ âåéëåâñêèõ ñèìâîëîâ îïåðàòîðîâ. Ìåòîä ôàçîâîãî ïðîñòðàí-
ñòâà è åãî ìîäèôèêàöèè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â çàäà÷àõ ñòàòèñòè÷åñêîé
ôèçèêè, ôèçèêå òâåðäîãî òåëà, êâàíòîâîé îïòèêå, òåîðèè ñòîëêíîâåíèé
è ò. ä. Ñâÿçàííûé ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Âåéëÿ ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò
ïîëó÷èë ïðèìåíåíèÿ â òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï, òåîðèè âåéâëåò ïðå-
îáðàçîâàíèÿ, òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è âû÷èñëèòåëüíîé
ìàòåìàòèêå.
   Â òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ èñõîäíûì îáúåêòîì ÿâëÿåòñÿ ôàçî-
âîå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå åñòü ïðÿìàÿ ñóììà ëè-
íåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L è åãî ñîïðÿæåííîãî L? . Ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé,
êîãäà ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî åñòü Rd è åãî ñîïðÿæåííîå îòîæäåñòâëåíî
ñ Rd . Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå ôàçîâîå ïðîñòðàí-
ñòâî åñòü ïðîñòðàíñòâî
                           R2d = Rd ⊕ Rd .                       (A.1)

                                 463