Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 477 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
|φ(q ⊕ p)|
2
dqdp =
Z
|F
σ
(φ)(ξ ⊕ η)|
2
dξdη.
i 2π
L
2
(R
d
)
φ(Q , P ) = (2π)
−d
Z
exp(i(ξ · P − η · Q))F
σ
(φ)(ξ ⊕ η) dξdη,
Q , P
(ξ · P − η · Q)
L
2
(R
d
)
∀(p ∈ R
d
) : V (p)ψ(x) = exp(−ip · x)ψ(x),
∀(q ∈ R
d
) : U(q)ψ(x) = ψ(x − q).
V (p) U(p)
F L
2
(R
d
)
F U(p) = V (p)F.
F U(p)ψ(ξ) =
Z
exp(−iξ · x)ψ(x − p) dx = exp(−iξ · p)
Z
exp(−iξ · x)ψ(x) dx =
V (p)F ψ(ξ).
∀(p
1
∈ R
d
, p
2
∈ R
d
): V (p
1
)V (p
2
) = V (p
1
+ p
2
),
∀(q
1
∈ R
d
, q
2
∈ R
d
): U(q
1
)U(q
2
) = U(q
1
+ q
2
),
U(q)V (p) = exp(iq · p)V (p)U(q).
ψ ∈ L
2
(R
d
)
R
d
3 q 7→ V (p)ψ ∈ L
2
(R
d
),
R
d
3 q 7→ U(q))ψ ∈ L
2
(R
d
)
Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ñèìïëåêòè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èìå-
åò âèä:      Z                   Z
                |φ(q ⊕ p)| dqdp = |Fσ (φ)(ξ ⊕ η)|2 dξdη.
                          2


Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Âåéëÿ âîçìîæåí èíîé
âûáîð çíàêîâ ó ìíîæèòåëåé i â ýêñïîíåíòàõ è ñòåïåíåé ìíîæèòåëÿ 2π
ïåðåä èíòåãðàëàìè.
    Âåéëåâñêîå êâàíòîâàíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïî àíàëîãèè ñ ôîðìó-
ëîé îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå êàæäîé ôóíêöèè íà ôàçîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
L2 (Rd ):
                              Z
                           −d
          φ(Q , P ) = (2π)      exp(i(ξ · P − η · Q))Fσ (φ)(ξ ⊕ η) dξdη,

ãäå Q , P -îïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà (ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãîå
îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà (ξ · P − η · Q) äàíî íèæå).
   Ïåðåõîäèì ê ïîñòðîåíèþ îòîáðàæåíèÿ (êâàíòîâàíèÿ) Âåéëÿ.
   Â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ) îïðåäåëèì îïåðàòîðû
                  ∀(p ∈ Rd ) : V (p)ψ(x) = exp(−ip · x)ψ(x),
                  ∀(q ∈ Rd ) : U (q)ψ(x) = ψ(x − q).
Ëåììà A.1.1. Îïåðàòîðû V (p) è U (p) óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíû: åñëè
F   -ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â     L2 (Rd ),   òî

                                F U (p) = V (p)F.
   Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ïðÿìîé âûêëàäêîé. Èìååì:
             Z                                      Z
F U (p)ψ(ξ) = exp(−iξ · x)ψ(x − p) dx = exp(−iξ · p) exp(−iξ · x)ψ(x) dx =

V (p)F ψ(ξ).
Ëåììà A.1.2. 1. Ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ:
               ∀(p1 ∈ Rd , p2 ∈ Rd ) : V (p1 )V (p2 ) = V (p1 + p2 ),   (A.6)
               ∀(q1 ∈ Rd , q2 ∈ Rd ) : U (q1 )U (q2 ) = U (q1 + q2 ),   (A.7)
               U (q)V (p) = exp(iq · p)V (p)U (q).                      (A.8)
    2. Äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà       ψ ∈ L2 (Rd )    ôóíêöèè

                          Rd 3 q 7→ V (p)ψ ∈ L2 (Rd ),
                          Rd 3 q 7→ U (q))ψ ∈ L2 (Rd )

                                        465

Страницы