Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 479 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

W (q , p) = exp(−
i
2
q · p)V (p)U(−q).
W (q , p)ψ(x) = exp(−
i
2
q · p − ip · x)ψ(x + q).
W (q
1
, p
1
)W (q
2
, p
2
) = exp(−
i
2
σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
))W (q
1
+ q
2
, p
1
+ p
2
).
W (q , p)
∗
= W (−q , −p).
L
2
(R
d
)
t 7→ W (tq , tp)
C
0
W (q , p) = exp(
i
2
q · p − iq · p)V (p)U(−q) =
exp(−i
i
2
q · p)V (p)U(−q).
V (p) U(q)
W (q
1
, p
1
)W (q
2
, p
2
) = exp(
i
2
(q
1
· p
1
− q
2
· p
2
))U(−q
1
)V (p
1
)V (p
2
)U(−q
2
) =
exp(
i
2
(q
1
· p
1
− q
2
· p
2
))U(−q
1
)V (p
1
+ p
2
)U(−q
2
) =
exp(
i
2
(q
1
· p
1
− q
2
· p
2
) − iq
1
(p
1
+ p
2
) +
i
2
(p
1
+ p
2
)(q
1
+ q
2
))W (q
1
+ q
2
, p
1
+ p
2
) =
exp(−
i
2
(q
1
· p
2
− q
2
· p
1
))W (q
1
+ q
2
, p
1
+ p
2
).
L = i∂
t
W (tq , tp)
t=0
t 7→ W (tq , tp)
L
L
Lψ(x) = i∂
t
V (tp)
t=0
+ i∂
t
U(−tq)
t=0
= (p ·x)ψ(x) + iq · ∂
x
ψ(x),
Ëåììà A.1.3. 1. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                       i
  W (q , p) = exp(− q · p)V (p)U (−q).                                    (A.12)
                       2
                            i
  W (q , p)ψ(x) = exp(− q · p − ip · x)ψ(x + q).                          (A.13)
                            2
                                  i
  W (q1 , p1 )W (q2 , p2 ) = exp(− σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ).
                                  2
                                                                          (A.14)
  W (q , p)∗ = W (−q , −p).                                                      (A.15)
2. Â ïðîñòðàíñòâå     L2 (Rd )   ôóíêöèÿ

                                   t 7→ W (tq , tp)
åñòü ïîëóãðóïïà óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ êëàññà                   C0 .
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðåâîãî ðàâåíñòâà ìû èñïîëü-
çóåì ðàâåíñòâî (A.8)è ïîëó÷àåì:
                                 i
                 W (q , p) = exp( q · p − iq · p)V (p)U (−q) =
                                 2
                         i
                 exp(−i q · p)V (p)U (−q).
                         2
Âòîðîå ðàâåíñòâî äîêàçûâàåòñÿ âû÷èñëåíèåì íà îñíîâå ðàâåíñòâà (A.12)
è îïðåäåëåíèé îïåðàòîðîâ V (p) è U (q).
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî ðàâåíñòâà ìû èñïîëüçóåì ðàâåíñòâî (A.12):
                                i
W (q1 , p1 )W (q2 , p2 ) = exp( (q1 · p1 − q2 · p2 ))U (−q1 )V (p1 )V (p2 )U (−q2 ) =
                               2
     i
exp( (q1 · p1 − q2 · p2 ))U (−q1 )V (p1 + p2 )U (−q2 ) =
     2
     i                                      i
exp( (q1 · p1 − q2 · p2 ) − iq1 (p1 + p2 ) + (p1 + p2 )(q1 + q2 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ) =
     2                                      2
        i
exp(− (q1 · p2 − q2 · p1 ))W (q1 + q2 , p1 + p2 ).
        2
Îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ ëåììû î÷åâèäíû.
   Ïóñòü
                               L = i∂t W (tq , tp) t=0
-èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð ïîëóãðóïïû t 7→ W (tq , tp). Èç òåîðåìû
Ñòîóíà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð L ñàìîñîïðÿæåí. Íà ôèíèòíûå ôóíêöèè
îïåðàòîð L äåéñòâóåò ïî ôîðìóëå
     Lψ(x) = i∂t V (tp)   t=0
                                + i∂t U (−tq)   t=0
                                                      = (p · x)ψ(x) + iq · ∂x ψ(x),

                                         467

Страницы