Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 480 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

W (q , p) = exp(i(q · P − p · Q)).
Z(φ , ψ | ξ , η) = (2π)
−d/2
< φ , W (ξ , η)ψ > .
Z
Z(φ
1
, ψ
1
| ξ , η)
∗
Z(φ
2
, ψ
2
| ξ , η)dξdη =< φ
2
, φ
1
>< ψ
1
, ψ
2
> .
< φ , W (ξ , η)ψ >=
Z
φ(x)
∗
exp(−
i
2
ξ · η − iη · x)ψ(x + ξ)dx =
Z
φ(x −
1
2
ξ) exp(−iη · x)ψ(x +
1
2
ξ)dx.
Z
Z(φ
1
, ψ
1
| ξ , η)
∗
Z(φ
2
, ψ
2
| ξ , η)dξdη =
(2π)
−d
Z
exp(iη · (x − y))φ
1
(x −
1
2
ξ)ψ
1
(x +
1
2
ξ)
∗
φ
2
(y −
1
2
ξ)
∗
×
× ψ
2
(y +
1
2
ξ)dxdydηdξ =
Z
φ
1
(x −
1
2
ξ)ψ
1
(x +
1
2
ξ)
∗
φ
2
(x −
1
2
ξ)
∗
ψ
2
(x +
1
2
ξ)dxdξ =
< ψ
1
, ψ
2
>< φ
2
, φ
1
> .
e
j
(x) , 1 ≤ j < ∞
L
2
(R
d
)
z
i , j
(ξ , η) := (2π)
−d/2
< e
i
, W (ξ , η)e
j
> 1 ≤ i < ∞ , 1 ≤ j < ∞
L
2
(R
2d
, dξdη)
z
i , j
(ξ , η)
Z
z
i , j
(ξ , η)
∗
h(ξ , η)dξdη =
(2π)
−d/2
Z
e
i
(x −
1
2
ξ)e
j
(x +
1
2
ξ) exp(iη · x)h(ξ , η)dxdξdη.
e
i
(x −
1
2
ξ)e
j
(x +
1
2
ξ)
L
2
(R
2d
, dxdξ)
∀(i , j) :
Z
z
i , j
(ξ , η)
∗
h(ξ , η)dξdη = 0
ïîýòîìó
                       W (q , p) = exp(i(q · P − p · Q)).
   Ïîëîæèì
                Z(φ , ψ | ξ , η) = (2π)−d/2 < φ , W (ξ , η)ψ > .
Ëåììà A.1.4. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
    Z
        Z(φ1 , ψ1 | ξ , η)∗ Z(φ2 , ψ2 | ξ , η)dξdη =< φ2 , φ1 >< ψ1 , ψ2 > .

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
                             Z
                                              i
      < φ , W (ξ , η)ψ >= φ(x)∗ exp(− ξ · η − iη · x)ψ(x + ξ)dx =
                                              2
     Z
               1                         1
        φ(x − ξ) exp(−iη · x)ψ(x + ξ)dx.
               2                         2
     Z
        Z(φ1 , ψ1 | ξ , η)∗ Z(φ2 , ψ2 | ξ , η)dξdη =
             Z
         −d                                1         1       1
     (2π)      exp(iη · (x − y))φ1 (x − ξ)ψ1 (x + ξ)∗ φ2 (y − ξ)∗ ×
                                           2         2       2
                1
      × ψ2 (y + ξ)dxdydηdξ =
     Z          2
                1             1            1           1
        φ1 (x − ξ)ψ1 (x + ξ)∗ φ2 (x − ξ)∗ ψ2 (x + ξ)dxdξ =
                2             2            2           2
      < ψ1 , ψ2 >< φ2 , φ1 > .
Ñëåäñòâèå A.1.2. Åñëè ôóíêöèè e (x) , 1 ≤ j < ∞ îáðàçóþò ïîëíóþ
                                         j
îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå             L2 (Rd ),   òî ôóíêöèè

    zi , j (ξ , η) := (2π)−d/2 < ei , W (ξ , η)ej > 1 ≤ i < ∞ , 1 ≤ j < ∞
îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå                L2 (R2d , dξdη).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïîëíîòó ñèñòåìû zi , j (ξ , η). Èìååì:
        Z
          zi , j (ξ , η)∗ h(ξ , η)dξdη =
                   Z
            −d/2                1        1
       (2π)            ei (x − ξ)ej (x + ξ) exp(iη · x)h(ξ , η)dxdξdη.
                                2        2
Ôóíêöèè ei (x − 12 ξ)ej (x + 21 ξ) îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñè-
ñòåìó â ïðîñòðàíñòâå L2 (R2d , dxdξ), ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà
                              Z
                   ∀(i , j) :     zi , j (ξ , η)∗ h(ξ , η)dξdη = 0

                                      468

Страницы