Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 478 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
(R
d
)
V (p) U(q)
V
∗
(p) = V (−p) , U
∗
(q) = U(−q).
U(q)V (p)ψ(x) = U(q)(exp(−ip · x)ψ(x)) = exp(−ip · (x − q))ψ(x − q) =
exp(iq · p) exp(−ip · x)ψ(x − q) = exp(iq · p)V (p)U(q)ψ(x).
p 7→ V (p)ψ ∈
L
2
(R
d
) p = 0
kψ − V (p)ψk
2
=
Z
|1 − exp(−ip · x)|
2
|ψ(x)|
2
dx → 0 , |p| → 0.
L
2
(R
d
)
t 7→ V (tp) , t 7→ U(tq)
C
0
p · Q := i∂
t
V (tp)
t=0
, q · P := i∂
t
U(tq)
t=0
C
∞
0
(p · Q)ψ(x) = (p · x)ψ(x) , (q · P )ψ(x) = −iq · ∂
x
ψ(x).
W (q , p) = exp(
i
2
q · p)U(−q)V (p).
íåïðåðûâíû â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà               L2 (Rd ).
   3. Îïåðàòîðû   V (p)   è   U (q)   óíèòàðíû è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

                    V ∗ (p) = V (−p) , U ∗ (q) = U (−q).                     (A.9)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàâåíñòâà (A.6)-(A.7) î÷åâèäíû. Äàëåå èìååì:

 U (q)V (p)ψ(x) = U (q)(exp(−ip · x)ψ(x)) = exp(−ip · (x − q))ψ(x − q) =
 exp(iq · p) exp(−ip · x)ψ(x − q) = exp(iq · p)V (p)U (q)ψ(x).

Ñîîòíîøåíèå (A.8) äîêàçàíî.
    Ñîòíîøåíèÿ (A.6)-(A.8) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè ïåðåñòàíîâî÷íû-
ìè ñîîòíîøåíèÿìè â ôîðìå Âåéëÿ.
    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ëåììû ñèëó ðàâåíñòâà (A.6)
è ëåììû A.1.1 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè p 7→ V (p)ψ ∈
L2 (Rd ) â òî÷êå p = 0. Èìåì:
                         Z
        kψ − V (p)ψk = |1 − exp(−ip · x)|2 |ψ(x)|2 dx → 0 , |p| → 0.
                    2



Âòîðîå óòâåðæäåíèå ëåììû äîêàçàíî. Òðåòüå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.

Ñëåäñòâèå A.1.1. Â ïðîñòðàíñòâå L (R ) ôóíêöèè  2   d


                              t 7→ V (tp) , t 7→ U (tq)

îáðàçóþò ïîëóãðóïïó óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ êëàññà                      C0 .

   Èç òåîðåìû Ñòîóíà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðû

               p · Q := i∂t V (tp)     t=0
                                             , q · P := i∂t U (tq)   t=0
                                                                            (A.10)

ñàìîñîïðÿæåíû.
   Íà ôóíêöèè èç C0∞ ýòè îïåðàòîðû äåéñòâóþò ïî ôîðìóëàì:

          (p · Q)ψ(x) = (p · x)ψ(x) , (q · P )ψ(x) = −iq · ∂x ψ(x).

Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îáëàñòü îïåðäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåîðàíè÷åííûõ
îïåðàòîðîâ ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñëàãàåìûõ.
   Îïðåäåëèì îïåðàòîð

                              def   i
                    W (q , p) = exp( q · p)U (−q)V (p).                     (A.11)
                                    2

                                         466

Страницы