Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 476 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Λ =
λ
d
0
0 λ
d
,
λ
d
d × d
R
d
a · b =
X
1≤j≤d
a
j
b
j
.
σ : R
2d
7→ R
1
σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
) = q
1
· p
2
− q
2
· p
1
.
σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
) = −σ(q
2
⊕ p
2
, q
1
⊕ p
1
),
(∀q
1
⊕ p
1
: σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
) = 0) ⇒ (q
2
⊕ p
2
= 0)
σ(Λ(q
1
⊕ p
1
) , Λ(q
2
⊕ p
2
)) ≡ σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
).
L
L ⊕ L
?
S(R
d
⊕ R
d
)
F
σ
(φ)(ξ ⊕η) = (2π)
−d
Z
exp(−iσ(ξ ⊕η , q ⊕p))φ(q ⊕p) dqdp.
F
−1
σ
: φ(q ⊕p) = (2π)
−d
Z
exp(iσ(ξ ⊕η , q ⊕p))F
σ
(φ)(ξ ⊕η) dξdη.
Âòîðîå ñëàãàåìîå â (A.1) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåí-
íîå ê ïåðâîìó ñëàãàåìîìó, ïîýòîìó â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå ïå-
ðåõîä îò îäíîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ê äðóãîìó â ôàçîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå ïðîñòðàíñòâå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû âèäà
                                      
                                 λd 0
                            Λ=           ,                      (A.2)
                                 0 λd
ãäå λd -îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà d × d.
   Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå Rd ìû îáîçíà÷èì ñèìâîëîì
                                 X
                          a·b=       aj b j .
                                      1≤j≤d

Ïóñòü
                                 σ : R2d 7→ R1
-áèëèíåéíàÿ ôîðìà âèäà

                   σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ) = q1 · p2 − q2 · p1 .       (A.3)

Ôîðìà (A.3) êîñîñèììåòðè÷íà:

               σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ) = −σ(q2 ⊕ p2 , q1 ⊕ p1 ),       (A.4)

íåâûðîæäåíà:

           (∀q1 ⊕ p1 : σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ) = 0) ⇒ (q2 ⊕ p2 = 0)    (A.5)

è èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé âèäà (A.2):

             σ(Λ(q1 ⊕ p1 ) , Λ(q2 ⊕ p2 )) ≡ σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ).
Óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (A.4)-(A.5) áèëèíåéíàÿ ôîðìà íàçûâàåòñÿ
ñèìïëåêòè÷åñêîé ôîðìîé. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì
âûáîðå áàçèñà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L ëþáàÿ ñèìïëåêòè÷åñêàÿ ôîð-
ìà íà ïðîñòðàíñòâå L ⊕ L? â êîîðäèíàòàõ èìååò âèä (A.3).
   Íà ôóíêöèÿõ èç ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà S(Rd ⊕ Rd ) îïðåäåëèì ñèì-
ïëåêòè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:
                             Z
                          −d
      Fσ (φ)(ξ ⊕ η) = (2π)     exp(−iσ(ξ ⊕ η , q ⊕ p))φ(q ⊕ p) dqdp.

Îáðàòíîå ñèìïëåêòè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîð-
ìóëå
                            Z
     −1                  −d
    Fσ : φ(q ⊕ p) = (2π)      exp(iσ(ξ ⊕ η , q ⊕ p))Fσ (φ)(ξ ⊕ η) dξdη.

                                      464

Страницы