Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 482 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e
j
(x) , 1 ≤ j < ∞
L
2
(R
d
)
kT
w
(a) | HSk
2
=
X
i , j
| < e
i
, T
w
(a)e
j
> |
2
=
X
i , j
(2π)
−2d
|
Z
F
σ
(a)(ξ , η) < e
i
, W (ξ , η)e
j
> dξdη|
2
=
(2π)
−d
kF
σ
(a) | L
2
(R
d
⊕ R
d
)k
2
= (2π)
−d
ka | L
2
(R
d
⊕ R
d
)k
2
.
T
w
(a)ψ(x) = (2π)
−d
Z
F
σ
(a)(ξ , η) exp
−
i
2
η · ξ − iη ·x
ψ(x + ξ)dξdη =
(2π)
−2d
Z
a(q , p) exp
−
i
2
η · ξ − iη ·x − iξ · p + iη · q
ψ(x + ξ)dqdpdξdη =
(2π)
−2d
Z
exp
−
i
2
η · (ξ − x) −iη · x − i(ξ − x) · p + iη · q
a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξdη =
(2π)
−2d
Z
exp
iη ·
q −
x + ξ
2
+ ip · (x − ξ)
a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξdη =
(2π)
−d
Z
δ
q −
x + ξ
2
exp(ip · (x − ξ))a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξ =
(2π)
−d
Z
exp(ip · (x − ξ))a
x + ξ
2
, p
ψ(ξ)dpdξ.
S(R
d
⊕ R
d
) L
2
(R
d
⊕ R
d
)
S(R
d
⊕ R
d
) 3 a 7→ T
w
(a) ∈ HS
L
2
(R
d
⊕ R
d
) 3 a 7→ T
w
(a) ∈ HS.
L
2
(R
d
⊕ R
d
) 3 a 7→ (2π)
d/2
T
w
(a) ∈ HS
Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Äîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü ej (x) , 1 ≤ j < ∞ -ïðîèçâîëüíàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-
ñòåìà â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ). Ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ A.1.2 è ðàâåíñòâà Ïàð-
ñåâàëÿ, ìû èìååì:
                         X
        kTw (a) | HSk2 =     | < ei , Tw (a)ej > |2 =
                                   i,j
         X                 Z
               (2π)−2d |        Fσ (a)(ξ , η) < ei , W (ξ , η)ej > dξdη|2 =
         i,j

        (2π)−d kFσ (a) | L2 (Rd ⊕ Rd )k2 = (2π)−d ka | L2 (Rd ⊕ Rd )k2 .

Äîêàæåì òðåòüå óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì
(A.13), ìû èìååì:
                        Z                                    
                    −d                           i
Tw (a)ψ(x) = (2π)          Fσ (a)(ξ , η) exp − η · ξ − iη · x ψ(x + ξ)dξdη =
                                                 2
         Z                                                 
     −2d                      i
(2π)        a(q , p) exp − η · ξ − iη · x − iξ · p + iη · q ψ(x + ξ)dqdpdξdη =
                              2
         Z                                                     
     −2d             i
(2π)        exp − η · (ξ − x) − iη · x − i(ξ − x) · p + iη · q a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξdη =
                     2
         Z                                        
     −2d                      x+ξ
(2π)        exp iη · q −               + ip · (x − ξ) a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξdη =
                                2
        Z                
     −d            x+ξ
(2π)       δ q−             exp(ip · (x − ξ))a(q , p)ψ(ξ)dqdpdξ =
                      2
        Z                                  
     −d                           x+ξ
(2π)       exp(ip · (x − ξ))a            , p ψ(ξ)dpdξ.
                                    2
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî S(Rd ⊕ Rd ) ïëîòíî â L2 (Rd ⊕ Rd ), òî èç (A.19)
âûòåêàåò
Ñëåäñòâèå A.1.3. Îòîáðàæåíèå
                               S(Rd ⊕ Rd ) 3 a 7→ Tw (a) ∈ HS

ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè äî îòîáðàæåíèÿ

                           L2 (Rd ⊕ Rd ) 3 a 7→ Tw (a) ∈ HS.

Îòîáðàæåíèå

                     L2 (Rd ⊕ Rd ) 3 a 7→ (2π)d/2 Tw (a) ∈ HS

                                             470

Страницы