Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 484 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e
j
(x) , 1 ≤ j < ∞
L
2
(R
d
)
z
∗
i , j
(ξ , η) = (2π)
−d/2
< e
i
, W (ξ , η)e
j
>
∗
L
2
(R
d
⊕
R
d
) T
X
i , j
| < e
i
, T e
j
> |
2
< ∞,
ω(ξ , η) := (2π)
d/2
X
i , j
< e
i
, T e
j
> z
∗
i , j
(ξ , η)
L
2
(R
d
⊕ R
d
)
a(q , p) := F
−1
σ
(ω)(q , p)
L
2
(R
d
⊕ R
d
)
∀(i , j) : < e
i
, T
w
(a)e
j
>= (2π)
−d
Z
ω(ξ , η) < e
i
, W (ξ , η)e
j
> dξdη =
(2π)
−d/2
< z
∗
i , j
, ω >=< e
i
, T e
j
> .
T = T
w
(a).
T
a(q , p) := (2π)
d/2
F
−1
σ
X
i , j
< e
i
, T e
j
> z
∗
i , j
(ξ , η)
!
(q , p) =
F
−1
σ
X
i , j
< e
i
, T e
j
>< W (ξ , η)e
j
, e
i
>
!
(q , p) =
F
−1
σ
X
j
< W (ξ , η)e
j
, T e
j
>
!
(q , p) =
F
−1
σ
X
j
< e
j
, W (ξ , η)
∗
T e
j
>
!
(q , p) = F
−1
σ
(Sp(W
∗
(ξ , η)T ))(q , p).
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ej (x) , 1 ≤ j < ∞ -ïðîèçâîëüíàÿ ïîëíàÿ îð-
òîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ). Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ
A.1.2 ôóíêöèè

                    zi∗, j (ξ , η) = (2π)−d/2 < ei , W (ξ , η)ej >∗

îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ⊕
Rd ). Òàê êàê T -îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà, òî
                        X
                           | < ei , T ej > |2 < ∞,
                             i,j

ïîýòîìó ðÿä
                                        X
                  ω(ξ , η) := (2π)d/2         < ei , T ej > zi∗, j (ξ , η)   (A.23)
                                        i,j

ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ⊕ Rd ) è ôóíêöèÿ

                             a(q , p) := Fσ−1 (ω)(q , p)                     (A.24)

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L2 (Rd ⊕ Rd ). Èìååì:
                                      Z
                                   −d
 ∀(i , j) : < ei , Tw (a)ej >= (2π)     ω(ξ , η) < ei , W (ξ , η)ej > dξdη =

 (2π)−d/2 < zi∗, j , ω >=< ei , T ej > .

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                     T = Tw (a).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Åñëè îïåðàòîð T ÿäåðíûé, òî ôîðìóëû (A.23)-(A.24) ìîæíî ïðåîáðà-
çîâàòü ê áîëåå ïðèâû÷íîìó äëÿ ôèçèêà âèäó. Èìååì:
                                                         !
                           X
  a(q , p) := (2π)d/2 Fσ−1   < ei , T ej > zi∗, j (ξ , η) (q , p) =
                               i,j
                                                    !
         X
  Fσ−1         < ei , T ej >< W (ξ , η)ej , ei > (q , p) =
         i,j
                                      !
         X
  Fσ−1         < W (ξ , η)ej , T ej > (q , p) =
          j
                                        !
         X
  Fσ−1         < ej , W (ξ , η)∗ T ej > (q , p) = Fσ−1 (Sp(W ∗ (ξ , η)T ))(q , p).
          j



                                          472

Страницы