Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 483 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(a ∈ L
2
(R
d
⊕ R
d
) , b ∈ L
2
(R
d
⊕ R
d
)) : < a , b >=
(2π)
d
< T
w
(a) , T
w
(b) >= (2π)
d
X
1≤j<∞
< T
w
(a)e
j
, T
w
(b)e
j
> .
L
2
(R
d
⊕ R
d
)
HS
L
2
(R
d
) e
j
(x) , 1 ≤ j < ∞
L
2
(R
d
)
L
2
(R
d
⊕R
d
)
HS
L
2
(R
d
⊕ R
d
)
T
w
(a)
a
T
w
(a)
C
∞
0
a
a(q , p) =
1
2
p
2
+ v(q) , v(q) ∈ C
∞
0
.
T
w
(a)ψ(x) = (2π)
−d
Z
exp(ip · (x − ξ))
1
2
p
2
+ v
x + ξ
2

ψ(ξ)dξdp =
−
1
2
∆
x
ψ(x) +
Z
δ(x − ξ)v
x + ξ
2
ψ(ξ)dξ =
−
1
2
∆
x
ψ(x) + v(x)ψ(x).
T
L
2
(R
d
) a ∈ L
2
(R
d
⊕ R
d
)
T = T
w
(a)
óíèòàðíî:

    ∀(a ∈ L2 (Rd ⊕ Rd ) , b ∈ L2 (Rd ⊕ Rd )) : < a , b >=                     (A.21)
                                       X
    (2π)d < Tw (a) , Tw (b) >= (2π)d         < Tw (a)ej , Tw (b)ej > .        (A.22)
                                      1≤j<∞


     ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (A.21) ñòîèò ñêàëÿðíîå ïîèçâåäåíèå â ïðî-
ñòðàíñòâå L2 (Rd ⊕ Rd ), â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (A.22) ñòîèò ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà HS , â ïðà-
âîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (A.22) ñòîèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå
L2 (Rd ) è ej (x) , 1 ≤ j < ∞ -ïðîèçâîëüíàÿ ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñè-
ñòåìà â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd ).
    Ôîðìóëà (A.19) ïîçâîëÿåò îñíàùåíèå ïðîñòðàíñòâà L2 (Rd ⊕ Rd ) ïåðå-
íîñèòü íà îñíàùåíèå ïðîñòðàíñòâà îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà HS è
ðàñøèðÿòü ïðåîáðàçîâàíèå Âåéëÿ íà ôóíêöèè, êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò
ïðîñòðàíñòâó L2 (Rd ⊕ Rd ).
    Îïåðàòîðû Tw (a) âèäà (A.20) â òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé íàçûâàþòñÿ ïñåâäîäèôôåðåöèàëüíûìè îïåðàòîðàìè, à ôóíêöèÿ a â
(A.20) -íàçûâàåòñÿ âåéëåâñêèì ñèìâîëîì îïåðàòîðà Tw (a). Ìîæíî äîêà-
çàòü, ÷òî ôîðìóëà (A.20) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò îïåðàòîð íà ïðîñòðàí-
ñòâå C0∞ â òîì ñëó÷àå, åñëè ôóíêöèÿ a ðàñòåò íå áûñòðåå ïîëèíîìà. Â
êà÷åñòâå ïðèìåðà âû÷èñëèì îïåðàòîð ñ âåéëåâñêèì ñèìâîëîì

                                1
                      a(q , p) = p2 + v(q) , v(q) ∈ C0∞ .
                                2
Èìååì:
                         Z                                       
                    −d                          1 2          x+ξ
 Tw (a)ψ(x) = (2π)  exp(ip · (x − ξ))             p +v                  ψ(ξ)dξdp =
                                                2             2
                Z               
    1                     x+ξ
 − ∆x ψ(x) + δ(x − ξ)v             ψ(ξ)dξ =
    2                        2
    1
 − ∆x ψ(x) + v(x)ψ(x).
    2
Ìû âèäèì ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå îòîáðàæåíèå Âåéëÿ ñîâïäàåò
ñ âåéëåâñêèì êâàíòîâàíèåì.
    Äîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå Âåéëÿ îáðàòèìî.

Òåîðåìà A.1.2. Ïóñòü T         -îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà â ïðîñòðàí-
ñòâå L (R ). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ a ∈ L2 (Rd ⊕ Rd ),
         2   d
                                                                                ÷òî
T = Tw (a). Ýòà ôóíêöèÿ îïåðäåëåíà ðàâåíñòâàìè (A.23)-(A.24).

                                      471

Страницы