Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 485 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a ∈ S(R
d
⊕ R
d
) , b ∈ S(R
d
⊕ R
d
).
T
w
(a) · T
w
(b) =
Z
F
σ
(a)(ξ
1
⊕ η
1
)F
σ
(b)(ξ
2
⊕ η
2
)W (ξ
1
, η
1
)W (ξ
2
, η
2
)dξ
1
dη
1
dξ
2
dη
2
=
Z
F
σ
(a)(ξ
1
⊕ η
1
)F
σ
(b)(ξ
2
⊕ η
2
) exp(−i
1
2
σ(ξ
1
⊕ η
1
, ξ
2
⊕ η
2
))×
W (ξ
1
+ ξ
2
, η
1
+ η
2
)dξ
1
dη
1
dξ
2
dη
2
=
Z
F
σ
(a)(ξ
1
⊕ η
1
)F
σ
(b)(ξ
2
− ξ
1
⊕ η
2
− η
1
) exp(−i
1
2
σ(ξ
1
⊕ η
1
, ξ
2
⊕ η
2
))×
W (ξ
2
, η
2
)dξ
1
dη
1
dξ
2
dη
2
= T
w
(a b),
a b(q , p) := F
−1
σ
(F
σ
(a) F
σ
(b))(q , p),
F
σ
(a) F
σ
(b)(ξ ⊕η) =
Z
F
σ
(a)(ξ
1
⊕ η
1
)F
σ
(b)(ξ −ξ
1
⊕ η −η
1
) exp(−i
1
2
σ(ξ
1
⊕ η
1
, ξ ⊕ η))dξ
1
dη
1
.
a b ∈ S(R
d
⊕ R
d
)
T
w
(a) · T
w
(b) = T
w
(a b)
(a ; b) 7→ a b
S(R
d
⊕ R
d
)
a 7→ T
w
(a)
Èçó÷èì ñâÿçü ìåæäó êîìïîçèöèåé îïåðàòîðîâ Ãèëüáåðòà-Øìèäòà è èõ
âåéëåâñêèìè ñèìâîëàìè. Ïóñòü

                      a ∈ S(Rd ⊕ Rd ) , b ∈ S(Rd ⊕ Rd ).                   (A.25)

Âû÷èñëèì

  Tw (a) · Tw (b) =
  Z
      Fσ (a)(ξ1 ⊕ η1 )Fσ (b)(ξ2 ⊕ η2 )W (ξ1 , η1 )W (ξ2 , η2 )dξ1 dη1 dξ2 dη2 =
  Z
                                              1
      Fσ (a)(ξ1 ⊕ η1 )Fσ (b)(ξ2 ⊕ η2 ) exp(−i σ(ξ1 ⊕ η1 , ξ2 ⊕ η2 ))×
                                              2
  W (ξ1 + ξ2 , η1 + η2 )dξ1 dη1 dξ2 dη2 =
  Z
                                                          1
      Fσ (a)(ξ1 ⊕ η1 )Fσ (b)(ξ2 − ξ1 ⊕ η2 − η1 ) exp(−i σ(ξ1 ⊕ η1 , ξ2 ⊕ η2 ))×
                                                          2
  W (ξ2 , η2 )dξ1 dη1 dξ2 dη2 = Tw (a b),

ãäå

 a b(q , p) := Fσ−1 (Fσ (a)  Fσ (b))(q , p),
 Fσ (a)  Fσ (b)(ξ ⊕ η) =
 Z
                                                    1
     Fσ (a)(ξ1 ⊕ η1 )Fσ (b)(ξ − ξ1 ⊕ η − η1 ) exp(−i σ(ξ1 ⊕ η1 , ξ ⊕ η))dξ1 dη1 .
                                                    2

Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (A.25), òî a             b ∈ S(Rd ⊕ Rd ). Èç ðàâåíñòâà

                           Tw (a) · Tw (b) = Tw (a    b)

ñëåäóåò, ÷òî áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ

                                 (a ; b) 7→ a     b

àññîöèàòèâíà (÷òî ìîæíî ïðîâåðèòü è ïðÿìîé âûêëàäêîé) è ëèíåéíà
ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, à ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî S(Rd ⊕ Rd ) âìåñòå ñ
áèíàðíîé îïåðàöèåé åñòü (íåêîììóòàòèâíàÿ) àëãåáðà. Îòîáðàæåíèå

                                   a 7→ Tw (a)

åñòü ïðåäñòàâëåíèå ýòîé àëãåáðû îïåðàòîðàìè Ãèëüáåðòà-Øìèäòà.

                                       473

Страницы