Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 487 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U
U : H 7→ L
2
(R
d
, dx),
∀(q , p): W (q , p)U = U
f
W (q , p).
P := (2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4)
f
W (ξ , η)dξdη
1. P
∗
= P.
2.P 6= 0.
3. ∀(q , p) : P
f
W (q , p)P = exp(−(q
2
+ p
2
)/4)P.
4. P
2
= P.
P
∗
= (2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4)
f
W (ξ , η)
∗
dξdη =
(2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4)
f
W (−ξ , −η)dξdη =
(2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4)
f
W (ξ , η)dξdη = P.
f
W (q , p)P = (2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4)
f
W (q , p)
f
W (ξ , η)dξdη =
(2π)
−d
Z
exp(−(ξ
2
+ η
2
)/4 − iσ(q ⊕p , ξ ⊕η)/2)
f
W (ξ + q , η + p)dξdη.
σ
ξ → ξ − q , η → η − p
σ(q ⊕ p , ξ ⊕ η) → σ(q ⊕p , ξ −q ⊕ η − p) = σ(q ⊕p , ξ ⊕ η).
   Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé óíèòàðíûé îïåðàòîð                  U:
                       U : H 7→ L2 (Rd , dx),

÷òî

                       ∀(q , p) : W (q , p)U = U W
                                                 f (q , p).

   Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïîòðåáóåò îò íàñ òîëüêî óìåíèÿ âû÷èñ-
ëÿòü ãàóññîâû èíòåãðàëû è îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ëåììå Íåéìàíà.
Ëåììà A.2.1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû, òî îïåðàòîð
                               Z
                          −d
               P := (2π)           exp(−(ξ 2 + η 2 )/4)W
                                                       f (ξ , η)dξdη

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

               1. P ∗ = P.                                                (A.26)
               2.P 6= 0.                                                  (A.27)
                               f (q , p)P = exp(−(q 2 + p2 )/4)P.
               3. ∀(q , p) : P W                                          (A.28)
               4. P 2 = P.                                                (A.29)

   Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ïðîâîäèòñÿ ïðÿìîé âûêàäêîé. Äîêàçûâàåì
ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Èìååì:
                         Z
              ∗       −d                        f (ξ , η)∗ dξdη =
            P = (2π)       exp(−(ξ 2 + η 2 )/4)W
                    Z
                 −d
            (2π)      exp(−(ξ 2 + η 2 )/4)W
                                          f (−ξ , −η)dξdη =
                    Z
                 −d
            (2π)      exp(−(ξ 2 + η 2 )/4)W
                                          f (ξ , η)dξdη = P.

Äîêàçûâàåì âòîðîå óòâåðæäåíèå. Èìååì:
                      Z
                   −d
  W (q , p)P = (2π)
  f                       exp(−(ξ 2 + η 2 )/4)Wf (q , p)W
                                                        f (ξ , η)dξdη =
          Z
      −d
  (2π)      exp(−(ξ 2 + η 2 )/4 − iσ(q ⊕ p , ξ ⊕ η)/2)W f (ξ + q , η + p)dξdη.

Äåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ â èíòåãðàëå è ó÷èòûâàåì êîñîñèììåòðè÷-
íîñòü áèëèíåéíîé ôîðìû σ :

       ξ → ξ −q, η → η−p
       σ(q ⊕ p , ξ ⊕ η) → σ(q ⊕ p , ξ − q ⊕ η − p) = σ(q ⊕ p , ξ ⊕ η).

                                         475

Страницы