Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 488 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
W (q , p)P = (2π)
−d
Z
exp(−Q)
f
W (ξ , η)dξdη
Q = ((ξ − q)
2
+ (η − p)
2
)/4 + iσ(q ⊕ p , ξ ⊕η)/2).
P = 0,
∀(q ⊕ p , φ , ψ ∈ H) : < φ ,
f
W (q , p)P ψ >≡ 0
J
φψ
(q , p) := (2π)
−d
Z
exp(−Q) < φ ,
f
W (ξ , η)ψ > dξdη ≡ 0.
J
φψ
(q , p) = (2π)
−d
exp(−
1
4
(q
2
+ p
2
))×
Z
exp(−
ξ
2
+ η
2
4
+
1
2
ξ(q −ip) +
1
2
η(p − iq)) < φ ,
f
W (ξ , η)ψ > dξdη
(ξ , η) 7→< φ ,
f
W (ξ , η)ψ >
J
φψ
(q , p)
q ∈ C
d
, p ∈ C
d
(q − ip) ∈ R
d
, (p − iq)) ∈ R
d
.
(ξ , η) 7→ exp(−
ξ
2
+ η
2
4
) < φ ,
f
W (ξ , η)ψ >
∀(φ , ψ ∈ H)
f
W (ξ , η)
0
Ïîëó÷àåì:
                                      Z
              f (q , p)P = (2π)−d
              W                           exp(−Q)W
                                                 f (ξ , η)dξdη             (A.30)

ãäå

              Q = ((ξ − q)2 + (η − p)2 )/4 + iσ(q ⊕ p , ξ ⊕ η)/2).         (A.31)

Åñëè

         P = 0,

òî

         ∀(q ⊕ p , φ , ψ ∈ H) : < φ , W
                                      f (q , p)P ψ >≡ 0

è
                                Z
                           −d                     f (ξ , η)ψ > dξdη ≡ 0.
         Jφψ (q , p) := (2π)        exp(−Q) < φ , W

Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë
                                1
      Jφψ (q , p) = (2π)−d exp(− (q 2 + p2 ))×
                                4
      Z           2    2
                 ξ +η      1            1
         exp(−           + ξ(q − ip) + η(p − iq)) < φ , W
                                                        f (ξ , η)ψ > dξdη
                    4      2            2
                                                                       (A.32)

Òàê êàê ôóíêöèÿ
                           (ξ , η) 7→< φ , W
                                           f (ξ , η)ψ >                    (A.33)
íåïðåðûâíà è îãàíè÷åíà, òî èíòåãðàë Jφψ (q , p) ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ êîì-
ïëåêñíûõ q ∈ Cd , p ∈ Cd , â ÷àñòíîñòè è íà ìíîãîîáðàçèè

                         (q − ip) ∈ Rd , (p − iq)) ∈ Rd .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè
                                      ξ 2 + η2
                  (ξ , η) 7→ exp(−             ) < φ, W
                                                      f (ξ , η)ψ >
                                          4
òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ è ïîýòîìó ôóíêöèÿ (A.33) òîæäåñòâåííî ðàâíà
íóëþ ∀(φ , ψ ∈ H), ÷åãî áûòü íå ìîæåò, åñëè îïåðàòîð W
                                                     f (ξ , η) íå åñòü
îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà 0. Óòâåðæäåíèå 2 äîêàçàíî.

                                          476

Страницы