Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 490 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

dξdη
Z
exp(−Q)dξdη = (2π)
d
exp(−Q(0 , 0)) =
(2π)
d
exp(−
1
4
(q
2
+ p
2
+ ξ
02
+ η
02
)).
q = 0 , p = 0
e
0
(x) = (π)
−d/4
exp(−x
2
/2) , x ∈ R
d
.
W (q , p)
W (q
j
, p
j
)e
0
, q
j
⊕ p
j
∈ R
d
⊕ R
d
, 1 ≤ j ≤ N
L
2
(R
d
, dx)
< e
0
, W (q , p)e
0
>= exp(−(q
2
+ p
2
)/4);
< W (q
k
, p
k
)e
0
, W (q
j
, p
j
)e
0
>=
exp(−((q
j
− q
k
)
2
+ (p
j
− p
k
)
2
)/4 − iσ(q
j
⊕ p
j
, q
k
⊕ p
k
)/2).
X
1≤j≤N
|α
j
|
2
> 0 , q
j
⊕ p
j
6= q
k
⊕ p
k
j 6= k
X
1≤j , k≤N
α
∗
k
α
j
exp(−((q
j
− q
k
)
2
+ (p
j
− p
k
)
2
)/4 − iσ(q
j
⊕ p
j
, q
k
⊕ p
k
)/2) > 0.
< W (q
k
, p
k
)e
0
, W (q
j
, p
j
)e
0
>=< e
0
, W (q
k
, p
k
)
∗
W (q
j
, p
j
)e
0
>=
< e
0
, W (−q
k
, −p
k
)W (q
j
, p
j
)e
0
>=
exp(−iσ(q
j
⊕ p
j
, q
k
⊕ p
k
)/2) < e
0
, W (q
j
− q
k
, p
j
− p
k
)e
0
> .
Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë ïî dξdη . Ïîëó÷àåì:
              Z
                exp(−Q)dξdη = (2π)d exp(−Q(0 , 0)) =
                                1
                     (2π)d exp(− (q 2 + p2 + ξ 02 + η 02 )).
                                4
Òðåòüå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïîëîæèâ â íåì q = 0 , p = 0, ïîëó÷àåì
ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå.
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïîëîæèì
                 e0 (x) = (π)−d/4 exp(−x2 /2) , x ∈ Rd .     (A.34)
Ïóñòü îïåðàòîðû W (q , p) îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (A.11).
   Ñïðàâåäëèâà

Ëåììà A.2.2. 1. Äëÿ ëþáîãî íàáîðà òî÷åê âåêòîðû
                    W (qj , pj )e0 , qj ⊕ pj ∈ Rd ⊕ Rd , 1 ≤ j ≤ N

ëèíåéíî íåçàâèñèìû â         L2 (Rd , dx).
     2. Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà

       < e0 , W (q , p)e0 >= exp(−(q 2 + p2 )/4);                              (A.35)
       < W (qk , pk )e0 , W (qj , pj )e0 >=
       exp(−((qj − qk )2 + (pj − pk )2 )/4 − iσ(qj ⊕ pj , qk ⊕ pk )/2).        (A.36)

3. Åñëè
 X
        |αj |2 > 0 , qj ⊕ pj 6= qk ⊕ pk j 6= k                                 (A.37)
1≤j≤N

òî
  X
            αk∗ αj exp(−((qj − qk )2 + (pj − pk )2 )/4 − iσ(qj ⊕ pj , qk ⊕ pk )/2) > 0.
1≤j , k≤N
                                                                               (A.38)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Âòîðîå óòâîðæäåíèå
ñëåäóåò èç ôîðìóëû (A.13) è ôîðìóëû

      < W (qk , pk )e0 , W (qj , pj )e0 >=< e0 , W (qk , pk )∗ W (qj , pj )e0 >=
      < e0 , W (−qk , −pk )W (qj , pj )e0 >=
      exp(−iσ(qj ⊕ pj , qk ⊕ pk )/2) < e0 , W (qj − qk , pj − pk )e0 > .

                                           478

Страницы