Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 491 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

k
X
α
j
W (q
j
, p
j
)e
0
k
2
=
X
1≤j , k≤N
α
∗
k
α
j
exp(−((q
j
− q
k
)
2
+ (p
j
− p
k
)
2
)/4 − iσ(q
j
⊕ p
j
, q
k
⊕ p
k
)/2).
a
0
∈ H
a
0
= P a
0
, ka
0
k = 1.
P
e
L
f
W (q
j
, p
j
)a
0
e
L H
f
W (q , p)
a =
X
j
α
j
f
W (q
j
, p
j
)a
0
.
f
W (q
j
, p
j
)a
0
a ∈
e
L
U :
e
L 7→ L
2
(R
d
, dx)
U
f
W (q
j
, p
j
)a
0
= W (q
j
, p
j
)e
0
.
f
W (q
j
, p
j
)a
0
U
∀(a ∈
e
L) : kUa | L
2
(R
d
, dx)k = ka | Hk,
U
f
W (q , p)a = W(q , p)Ua ,
Cl(U
e
L) = L
2
(R
d
, dx).
H
0
= Cl(
e
L).
Òðåòüå óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç ïåðîãî óòâåðæäåíèÿ è ðàâåñòâà
   X
 k    αj W (qj , pj )e0 k2 =
   X
         αk∗ αj exp(−((qj − qk )2 + (pj − pk )2 )/4 − iσ(qj ⊕ pj , qk ⊕ pk )/2).
  1≤j , k≤N

Ëåììà äîêàçàíà.
  Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû.
  Ïóñòü a0 ∈ H -òàêîé âåêòîð, ÷òî

                             a0 = P a0 , ka0 k = 1.

Òàêîé âåêòîð îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò, òàê êàê P -íå ðàâíûé íóëþ ïðîåê-
òîð. Ïóñòü L  e -ìíîæåñòâî âñåõ êîíå÷íûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ
W (qj , pj )a0 . Ìíîæåñòâî L
f                          e -ýòî ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â H , êîòîðîå
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðîâ W     f (q , p) è ñîñòîèò èç âåêòîðîâ âè-
äà                             X
                           a=      αj W
                                      f (qj , pj )a0 .                 (A.39)
                                  j

 ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3 ïðåäûäóùåé ëåììû âåêòîðû W
                                              f (qj , pj )a0 ëèíåéíî
íåçàâèñèìû è äëÿ êàæäîãî âåêòîðà a ∈ L
                                     e ïðåäñòàâëåíèå (A.39) åäèí-
ñòâåííî.
   Îïðåäåëèì ëèíåéíûé îïåðàòîð
                          e→
                        U:L 7 L2 (Rd , dx)

ðàâåíñòâîì

                        UW
                         f (qj , pj )a0 = W (qj , pj )e0 .                (A.40)

Ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî â ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ
f (qj , pj )a0 .
W
   Ïðÿìîé âûêëàäêîé ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå U óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì:
                          e : kU a | L2 (Rd , dx)k = ka | Hk,
                   ∀(a ∈ L)
                   UWf (q , p)a = W (q , p)U a ,
                        e = L2 (Rd , dx).
                   Cl(U L)

Ïóñòü
                                 H0 = Cl(L).
                                         e

                                       479

Страницы