Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 486 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

U(q) , V (p)
W (q , p)
W (q , p) U(q) , V (p)
H
f
W : R
d
⊕ R
d
3 q ⊕ p 7→
f
W (q , p) ∈ L(H 7→ H),
f
W (q , p)
f
W (q , p)
∗
=
f
W (−q , −p).
f
W (q , p)
∀(ψ ∈ H)
R
d
⊕ R
d
3 q ⊕ p 7→
f
W (q , p)ψ ∈ H
H
∀(q
1
⊕ p
1
∈ R
d
⊕ R
d
, , q
2
⊕ p
2
∈ R
d
⊕ R
d
) :
f
W (q
1
, p
1
)
f
W (q
2
, p
2
) = exp(−
i
2
σ(q
1
⊕ p
1
, q
2
⊕ p
2
))
f
W (q
1
+ q
2
, p
1
+ p
2
).
H
f
W (q , p)
A.2      Òåîðåìà Äæ. ôîí Íåéìàíà î åäèíñòâåí-

         íîñòè

         ïðåäñòàâëåíèÿ ÊÏÑ â ôîðìå Âåéëÿ

Ìû çàäàëè îïåðàòîðû U (q) , V (p) ÿâíûìè ôîðìóëàìè è ïîòîì äîêàçà-
ëè, ÷òî ïîñòðîåííûé íà èõ îñíîâå îïåðàòîð W (q , p) óíèòàðåí è óäîâëå-
òâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (A.14)-(A.15), êîòîðûå, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíû
êàíîíè÷åñêèì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿìè â ôîðìå Âåéëÿ (A.6)-
(A.8). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (A.14)-(A.15) îïðåäåëÿþò îïåðà-
òîðíóþ ôóíêöèþ W (q , p) (à ïîòîìó è îïåðàòîðû U (q) , V (p)) ñ òî÷íî-
ñòüþ äî óíèòàðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùåå óòâåðæäåíèå äî-
êàçàíî Äæ. ôîí Íåéìàíîì â 1931 ãîäó (Johann von Neumann (1903-1957),
ñîâðåìåííîå ïðîèçíîøåíèå ýòîé ôàìèëèè íà ðóññêîì ÿçûå -Íîéìàí, àìå-
ðèêàíñêîå íàïèñàíèå èìåíè: John Von).  ìàòåìàòè÷åñêîì ôîëüêëîðå
ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Äæ. ôîí Íåéìàíà (Íîé-
ìàíà) î åäèíñòâåííîñòè øðåäèíãåðîâñîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÊÏÑ (êàíîíè-
÷åñêèõ ïåðåñòíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé) â ôîðìå Âåéëÿ. Ïðèâåäåì îäíó èç
ðåäàêöèé ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà A.2.1. Ïóñòü â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H çàäàíà îïåðà-
òîðíàÿ ôóíêöèÿ

               f : Rd ⊕ Rd 3 q ⊕ p 7→ W
               W                      f (q , p) ∈ L(H 7→ H),

êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
   1. Îïåðàòîðû     W
                    f (q , p)   óíèòàðíû è

                            f (q , p)∗ = W
                            W            f (−q , −p).

   2. Îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ         f (q , p) íåïðåðûâíà â ñèëüíîé îïåðàòîðíîé
                                  W
òîïîëîãèè. Ýòî îçíà÷àåò,         ÷òî ∀(ψ ∈ H) ôóíêöèÿ

                      Rd ⊕ Rd 3 q ⊕ p 7→ W
                                         f (q , p)ψ ∈ H

íåïðåðûâíà â íîðìå ïðîñòðàíñòâà          H.
   3. Âûïîëíåíî òîæäåñòâî:

  ∀(q1 ⊕ p1 ∈ Rd ⊕ Rd , , q2 ⊕ p2 ∈ Rd ⊕ Rd ) :

  W           f (q2 , p2 ) = exp(− i σ(q1 ⊕ p1 , q2 ⊕ p2 ))W
  f (q1 , p1 )W                                            f (q1 + q2 , p1 + p2 ).
                                   2
   4. Ïðîñòðàíñòâî      H   -íàèìåíüøåå íåòðèâèàëüíîå ïðîñòðàíñòâî, êî-
òîðîå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî âñåõ îïåðàòîðîâ               f (q , p).
                                                             W

                                        474

Страницы