Компьютерные технологии в физике. Часть 2. Эксперимент с компьютерной поддержкой. Артамонов М.Ф - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

30
а также начальное условие (характеризующее первоначальное распределе-
ние температуры вдоль стержня):
при t = 0 )(xTT
b
=
. (3.4)
При решении уравнения (3.1) удобно ввести новую перемен-
ную
c
TtxTtxU −= ),(),( , представляющую собой превышение температуры
в данной точке x в момент времени t над температурой воздуха
c
T
.
Тогда равенства (3.1) - (3.4) принимают вид:
bU
x
U
a
t
U
−
∂
∂
=
∂
∂
2
2
, (3.5)
при x = 0 )(
0
tUU
, (3.6)
при x = l
0
=
U
, (3.7)
при t = 0 )(xUU
b
, (3.8)
где
c
TTU −=
0
0
,
c
T
b
T
b
U −= .
Если исследуется нагрев первоначально холодного стержня, то при
t=0 следует принять
c
T
b
T = и 0
=
b
U .
Аналитические решения
Уравнение (3.5) существенно упрощается и имеет простые аналити-
ческие решения в двух предельных случаях:
1. для стационарного состояния, когда приток тепла со стороны
нагреваемого конца стержня точно скомпенсирован теплоот-
дачей через боковую поверхность и охлаждаемый конец,
2. для режима быстрого независимого остывания отдельных уча-
стков сильно нагретого стержня за счет конвективного тепло-
отвода через боковую поверхность, когда перенос тепла вдоль
стержня посредством теплопроводности мал.
В первом случае имеем
0
/
=
∂
t
U
и уравнение (3.5) становится
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка:
0
2
2
2
=−
∂
∂
Uk
x
U
, (3.9)
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
              а также начальное условие (характеризующее первоначальное распределе-
              ние температуры вдоль стержня):

                             при t = 0    T = Tb (x) .                             (3.4)

                   При решении уравнения (3.1) удобно ввести новую перемен-
              ную U ( x, t ) = T ( x, t ) − T , представляющую собой превышение температуры
                                      c
              в данной точке x в момент времени t над температурой воздуха T .
                                                                                    c
                    Тогда равенства (3.1) - (3.4) принимают вид:

                               ∂U     ∂ 2U
                                   = a 2 − bU ,                                    (3.5)
                                ∂t    ∂x

                        при x = 0 U = U 0 (t ) ,                                   (3.6)
                        при x = l U = 0 ,                                          (3.7)
                        при t = 0 U = U b (x) ,                                    (3.8)
              где U = T − T , U b = Tb − Tc .
                    0    0     c

                    Если исследуется нагрев первоначально холодного стержня, то при
              t=0 следует принять Tb = Tc и U b = 0 .

              Аналитические решения

                   Уравнение (3.5) существенно упрощается и имеет простые аналити-
              ческие решения в двух предельных случаях:
                  1. для стационарного состояния, когда приток тепла со стороны
                     нагреваемого конца стержня точно скомпенсирован теплоот-
                     дачей через боковую поверхность и охлаждаемый конец,
                  2. для режима быстрого независимого остывания отдельных уча-
                     стков сильно нагретого стержня за счет конвективного тепло-
                     отвода через боковую поверхность, когда перенос тепла вдоль
                     стержня посредством теплопроводности мал.
                   В первом случае имеем ∂U / ∂t = 0 и уравнение (3.5) становится
              обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка:

                              ∂ 2U
                                   − k 2U = 0 ,                                    (3.9)
                              ∂x 2




                                                         30


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы