Оптимизация технологических процессов. Часть 1. Метод Лагранжа и численные методы безусловной оптимизации функции одной переменной. Асламова В.С - 81 стр.

7.11. Метод кубической аппроксимации

      По своей эффективности метод кубической аппроксимации явля-
ется одним из самых лучших среди всех методов одномерной оптимиза-
ции. Недостатком является необходимость вычисления первой произ-
водной.
      Предположим, что функция f (x) выпукла и непрерывно диффе-
ренцируема на отрезке [a,b], f '(a)<0, f '(b)>0. Аппроксимируем функцию
многочлена 3-й степени:

                     ϕ ( x) = c0 ( x − a)3 + c1 ( x − a) 2 + c2 ( x − a) + c3 ,

где коэффициенты c0, c1, c2, c3 определяются из условий:

                               ϕ (a) = f (a) => c3 = f (a),
                             ϕ ' (a) = f ' (a) => c2 = f ' (a),
          ϕ (b) = f (b) => c0 (b − a)3 + c1 (b − a) 2 + c2 (b − a) + c3 = f (b),

              ϕ ' (b) = f ' (b) => 3c0 (b − a) 2 + 2c1 (b − a) + c2 = f ' (b).

      Найдем точку
                                        x = arg minϕ ( x)
                                               [ a ,b]

      Легко проверить, что
                                     x = a + γ (b − a), где
                                          z + ω − f ' (a)
                                  γ =                        ;
                                      f ' (b) − f ' (a) + 2ω
                                 f (a) − f (b)
                            z =3                 + f ' (a) + f ' (b),
                                     b−a
                                     ω = z 2 − f ' (a) ⋅ f ' (b)

           Точка x используется для сжатия отрезка локализации так же, как
и в методе деления отрезка пополам с вычислением производной: если
 f ' ( x ) < 0, то новым отрезком локализации является отрезок [ x , b], если
f ' ( x ) > 0, то отрезок [a, x ].

                                                                                   81