Вычислительная математика. Ч. 1. Асламова В.С - 30 стр.

i – номер исключаемой переменной,                                                  Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
k – номер уравнения, из которого исключается переменная xi,                      Предположим, что a 21 > a11 . Перепишем систему (4.9) в виде:
c – вспомогательная переменная,
s – переменная для накопления суммы из уравнения (4.9).                                                        ⎧a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
                                                                                                               ⎨                        ,               (4.11)
    При прямом ходе матрица А преобразуется в треугольную матрицу, с
единицами на главной диагонали.                                                                                ⎩ a11 x1 + a12 x 2 = b1
    Операция перестановки уравнений (т. е. перестановки соответствующих          и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким
коэффициентов) служит для предотвращения деления на нулевой элемент.             образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен
Правая часть блок-схемы описывает процесс обратного хода.                        применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге
    Метод Гаусса целесообразно использовать для решения систем с плотно          исключения поводится соответствующая перенумерация уравнений.
заполненной матрицей. Все элементы матрицы и правые части системы                   Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей
уравнений находятся в оперативной памяти машины. Объём вычислений                матрице, когда в качестве ведущего выбирается максимальный по модулю
определяется порядком системы n: число арифметических операций примерно          элемент среди всех элементов матрицы системы.
равно (2/3)n3.                                                                      Блок-схема метода Гаусса с выбором главного элемента в столбце приведена
    Видоизмените алгоритм, чтобы в треугольной матрице на главной диагонали      на рисунке 36. Здесь введены следующие индексы: max – максимальный по
стояли преобразованные коэффициенты Аii.                                         модулю элемент, стоящий в столбце i; k – номер строки, в которой стоит max.
                                                                                 Заметим, что диагональные элементы матрицы называются ведущими
           4.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента                         элементами; ведущий элемент aii – это коэффициент при i-ом неизвестном в i-ом
                                                                                 уравнении на i-ом шаге исключения.
   Этот метод позволяет избежать указанных выше трудностей. Основная идея           Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются
метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по          множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует
номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является           снижению погрешностей вычислений. Поэтому метод Гаусса с выбором
наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь          главного элемента обеспечивает приемлемую точность решения для
выбирается главный, значение которого наибольшее по модулю. Тем самым,           сравнительно небольшого числа (n ≤ 100) уравнений. И только для плохо
если определитель матрицы А не равен нулю, то в процессе вычислений не будет     обусловленных систем решения, полученные по этому методу, ненадёжны.
происходить деление на нуль.                                                        Задание. Модифицируйте алгоритм так, чтобы главные элементы выбирались
   Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента                  по всей матрице.
проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений:
                              ⎧a11 x1 + a12 x 2 = b1 .
                              ⎨
                              ⎩ a 21 x1 + a 22 x 2 = b2
  Предположим, что a12 > a11 . Тогда на первом шаге будем исключать
переменное х2. Такой     приём    эквивалентен   тому,   что   система   (4.2)
переписывается в виде:
                                ⎧a12 x 2 + a11 x1 = b1 ,         (4.10)
                                ⎨
                                  a  x
                                ⎩ 22 2   + a   x
                                             21 1 = b 2

и к (4.10) применяется первый шаг обычного метода Гаусса.
   Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором
главного элемента по строке. Он эквивалентен применению обычного метода
Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится
соответствующая перенумерация переменных.


                                    59                                                                                 60